РАЗДЕЛ 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
МАГНИТНЫХ СИСТЕМ ДЛП
Анализ и синтез магнитных систем ДЛП должен проводится на основе расчета поля в сердечниках системы, метод расчета должен обладать надлежащей точностью и универсальностью. Как уже было сказано в предыдущей главе, для целей расчета открытых систем наиболее подходят интегральные уравнения.
2.1. Математическая модель магнитного статического поля на основе интегральных уравнений
Выдвигаются следующие требования к математической модели поля. Модель должна позволять рассчитывать поле как в линейной так и в нелинейной средах. Алгоритм расчета поля на основе модели должен обладать хорошей сходимостью при численных решениях независимо от вида магнитных характеристик материалов и расположения рабочей точки на их характеристиках. Модель должна быть пригодна для расчета поля в любой магнитной системе ДЛП рассматриваемого класса. Модель должна позволять рассчитывать трехмерные магнитные поля.
Требование возможности расчета поля, как в линейной, так и нелинейных средах обусловлено тем, что, во-первых, магнитное поле необходимо рассчитывать в постоянных магнитах докритической [84] группы и, во-вторых, в магнитных системах имеются участки магнитопровода, выполненные из магнитомягкого материала, которые расположены в непосредственной близости от постоянного магнита и их режим намагничивания обуславливает необходимость учитывать нелинейность магнитной характеристики.
Существует множество математических моделей магнитного поля в линейных и нелинейных средах разработанные Тозони О.В., Майергойзом И.Д., Чечуриным В.Л., Курбатовым П.В., Пеккером И.И., Колесниковым Э.В., Толмачевым С.Т., Демирченко К.С., Аритчиным С.А. [36, 43, 61, 67, 75, 76, 85]. Все методы позволяют рассчитывать поле в сложных магнитных системах. Однако наиболее для данного случая подходит метод, предложенный в [37]. Этот метод пригоден, как для линейных, так и для нелинейных магнитных сред. При определении элементов матрицы системы уравнений, к которой сводится при решении интегральное уравнение, нет проблем с особыми точками, которые возникают при применении других методов [85]. И самое главное, для этого метода можно разработать эффективные численные алгоритмы решения, которые отличаются и быстродействием и точностью.
Суть метода сводится к следующему. Поле в области расчета описывается системой векторных уравнений [56, 86, 87]
(2.1)
где - истинная напряженность поля в ферромагнетике;
- внешнее намагничивающее поле;
- поле наведенных магнитных зарядов ферромагнетика (так называемое размагничивающее поле);
V -объем, занимаемый ферромагнетиком;
S - поверхность раздела магнитных сред;
r - расстояние от точки наблюдения до рассматриваемых dV или dS;
- магнитная индукция в ферромагнетике.
Специфической особенностью этой системы является сложная и неоднозначная из-за гистерезиса зависимость .
Объем области расчета разбивается на N элементарных объемов (ЭО), представляющих собой параллелепипеды, внутри которых вектор намагниченности постоянен и векторы коллениарны. Такое допущение соответствует кусочно-постоянной аппроксимации намагниченности по объему ферромагнетика.
Внутри малой области , следовательно в (2.1) объемный интеграл обратиться в ноль, а изменение вектора намагниченности при переходе от одной области к другой выражается суммой интегралов по поверхности, ограничивающей эти области [56, 88].
Напряженность поля в точке наблюдения i, созданная суммой из N ЭО, на которые разбит объем области занятой ферромагнитным материалом, представляющих собой параллелепипеды, в прямоугольной системе координат принимает вид:
(2.2)(2.3)
где ;
;
- вектор намагниченности в центре ЭО;
- нормаль к поверхности ЭО;
; - номера ЭО точек наблюдения и источников;
- внешнее намагничивающее поле.
?- номер грани ЭО, по которой производится интегрирование.
Интегрирование по формуле (2.2) проводится по шести поверхностям параллелепипеда (рис.2.1).
Для проекций векторов , в области занятой ферромагнитным материалом (2.3) представляет собой систему алгебраических уравнений для составляющих вектора намагниченности
.(2.4)
Систему уравнений (2.4) в общем виде можно записать так:
.
Коэффициенты системы уравнений (2.4) получены как результат интегрирования:
(2.5)
(2.6)(2.7)
Таким образом, напряженность представляется как сумма трех компонентов напряженности внешнего намагничивающего поля , напряженности собственной намагниченности ЭО и напряженностью, всех остальных N-1 ЭО имеющих намагниченность .
2.2. Алгоритм решения системы алгебраических уравнений
Предлагается систему алгебраических уравнений (2.4) решать по следующему алгоритму [89].
2.2.1. Область, занятая ферромагнитным материалом разбивается по трем осям на N элементарных объемов, представляющих собой параллелепипеды. Размеры ЭО определяются эмпирически для каждой магнитной системы, в зависимости от ее сложности и задачи расчета, исходя из следующих соображений:
- для сложных магнитных систем, в большинстве случаев, нет необходимости в симметричной разбивке всего объема магнитной системы на N одинаковых ЭО. В первую очередь, слишком мелкая равномерная разбивка не является оптимальной с точки зрения затрат машинного времени на расчет поля каждого ЭО. Так увеличение разбивки в P раз увеличивает время вычислений минимум в раз. Во-вторых, чрезмерная или неверная разбивка может быть основной причиной несходимости итерационного процесса;
- уменьшение размеров ЭО по трем осям позволяет получить более точные результаты при расчете и уменьшить разность между намагниченностью соседних ЭО, что сказывается на уменьшении скачкообразных выбросов напряженности поля на границах ЭО. Скачкообразные изменения напряженности поля на границах двух соседних ЭО будут наблюдаться при любой разбивке, в той или иной степени, и истинный характер вектора напряженно