РОЗДІЛ 2
МЕТОД ПОБУДОВИ РОЗВ'ЯЗКІВ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ЦИЛІНДРИЧНОГО ЗГИНУ ПЛАСТИН
Для побудови наближеного аналітичного розв'язку крайової задачі (1.11), (1.12) пропонується ввести параметр нелінійності Т=T(W), що визначається співвідношенням першого інваріанту деформацій (1.10) та представити розв'язок у вигляді лінійної комбінації взаємозалежних нелінійних розв'язків породжуючих крайових задач. З фізичної точки зору параметр Т характеризує величину осьового видовження серединного волокна пластини, обумовленого зусиллям зчеплення [125]. Потім застосувати метод збурення виду крайових умов для побудови наближених нелінійних розв'язків породжуючих задач та із співвідношення (1.10) визначити значення параметру нелінійності Т.
Застосування запропонованого методу для побудови наближеного аналітичного розв'язку крайової задачі (1.11), (1.12) пов'язано з необхідністю відпрацювання методу та оцінки достовірності одержаних з його використанням розв'язків. У зв'язку з цим розглянемо спершу більш прості задачі, розв'язки яких стануть базовими для вихідної задачі. В першу чергу це побудова нелінійних розв'язків задач: циліндричного згину пластини рівномірним та змінним навантаженням для крайових умов пружного закріплення протилежних країв контуру та комбінації "вільний край - защемлення".
Розглянуті задачі циліндричного згину пластини допускають побудову точного нелінійного розв'язку, що дає можливість провести оцінку достовірності запропонованого методу.
2.1. Постановка задачі циліндричного згину пластини
при пружному закріпленні протилежних країв
Розглянемо задачу згину досить довгої прямокутної пластини, навантаженої рівномірно розподіленим поперечним навантаженням з пружним закріпленням протилежних країв без можливості зближення. Щоб одержати рівняння прогину пластини, вважаємо, що пластина має товщину h, за координатну площину xOy виберемо серединну поверхню пластини. Нехай вісь Oy збігається з одним з повздовжніх країв пластини, додатнім напрямком осі Oz будемо вважати напрямок донизу. Вигнуту поверхню такої пластини, можна при цьому вважати циліндричною, з віссю циліндра паралельною лінії повздовжнього краю пластини. За таких умов задача зводиться до дослідження елементарної смужки, вирізаної із пластини двома площинами, перпендикулярними до лінії повздовжнього краю пластини, віддаленими одна від одної на одиницю довжини. Прогин такої смужки виражається диференціальним рівнянням, аналогічним рівнянню прогину зігнутої балки [125].
Позначаючи ширину пластини через , можна розглядати виділену нами елементарну смужку як балку (або стержень) прямокутного поперечного перерізу з заданими геометричними параметрами і довжиною під дією рівномірно розподіленого навантаження q* (рис.2.1). Вважаємо, що защемлений край пластини має можливість деякого повороту пропорційного коефіцієнту ?, тобто є пружним .
При згині балки з нерухомими у повздовжньому напрямі кінцями пружні сили, породжені збільшенням довжини серединних волокон балки (рис. 2.2), призводять до того, що напружено-деформований стан згину балки описується нелінійним рівнянням. При побудові цього рівняння слід обов'язково враховувати величину збільшення довжини серединних волокон. Покажемо, що для випадку циліндричного згину пластини з нерухомими у повздовжньому напрямі кінцями відповідні нелінійні рівняння можна побудувати на основі варіаційного методу Ейлера.
Рис. 2.1.
Рис. 2.2
Оберемо початок системи координат на середині балки, тоді координата x буде приймати значення від -0.5 до 0.5 (рис. 2.1). Вважаємо, що головні осі інерції поперечного перерізу балки паралельні осям y і z; вісь балки згинається в площині (x, z); переміщення осі балки має компоненти u(x), w(x). Тоді збільшення довжини серединного волокна становить [62]:
?x0 = [ 1 + ?x]1/2 - 1, ( 2.1 )
де
?x = 2 ux + (ux)2 + (wx)2. ( 2.2 )
Щоб врахувати видовження серединного волокна, породжене прогином w в напрямі z, у співвідношенні (2.2) необхідно зберегти член (wx)2. Це означає, що квадрат похідної wx, має порядок менший одиниці, та порівняний або більший порядку похідної ux. Член (ux)2 є малим порівняно з похідною ux і ним можна знехтувати, тобто справедливі такі оцінки
wx << 1; (wx)2 ? ux ; (ux)2 << ux . ( 2.3 )
Розкладаючи вираз, що входить у рівняння (2.1), в біноміальний ряд та утримуючи тільки члени першого порядку відносно ?x, з урахуванням співвідношень (2.3), одержимо
. ( 2.4 )
Враховуючи, що wx << 1, наближено замінимо кривизну волокна на осі балки другою похідною wxx. Тоді для волокна, розміщеного на відстані z від серединного волокна, частина видовження, породжена згином, складатиме zwxx. На це видовження накладається видовження ?x0 волокна на осі балки, отже, повне видовження волокна складає
. ( 2.5 )
Робота деформації, віднесена до одиниці об'єму, складає
U? = 1/2 E ?x2, ( 2.6 )
де Е ? модуль пружності матеріалу.
Інтегруючи співвідношення (2.6) по площі поперечного перерізу одержимо роботу деформації, віднесену до одиниці довжини балки
( 2.7 )
З урахуванням співвідношення (2.5) вираз (2.7) запишеться так:
, ( 2.8 )
де F, J - площа і момент інерції поперечного перерізу балки. Оскільки координати центрів тяжіння поперечних перерізів збігаються із серединним волокном балки, то
Інтегруючи співвідношення (2.8) по довжині балки, знайдемо повну роботу дефор