РАЗДЕЛ 2
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Пусть - семейство статистических экспериментов, порождаемых наблюдениями , вообще говоря, произвольной природы [26, 32, 62]. Через (соответственно ) будем обозначать статистическую гипотезу, состоящую в том, что распределение наблюдения задается мерой (соответственно ). Кроме того, через обозначим измеримое отображение в , где - борелевская -алгебра подмножеств множества . Любое такое отображение называют статистическим критерием для различения гипотез и по наблюдению . При этом считают, что есть условная вероятность отвергнуть гипотезу (или, что то же самое, принять гипотезу ) при условии, что [3, 32, 35]. Пусть - совокупность всех критериев для различения гипотез и по наблюдению .
Для оценки качества критерия введем величины
, , (2.1)
где и - математические ожидания по мерам и соответственно. Величину называют вероятностью ошибки 1-го рода или уровнем критерия , а величину - вероятностью ошибки 2-го рода критерия . Величину называют мощностью критерия.
Вероятность ошибки первого рода есть вероятность отвергнуть гипотезу , используя критерий , при условии, что она верна. Вероятность ошибки второго рода - это вероятность принять гипотезу , используя критерий , в случае, когда верна гипотеза .
Меру называют абсолютно непрерывной относительно меры (обозначение: ), если из условий и следует, что . Если и , то меры и называют эквивалентными (обозначение: ). Мера не является абсолютно непрерывной относительно меры (обозначение: ), если существует множество такое, что , но . Меры и называют сингулярными (обозначение: ), если существует такое, что и [8, 25].
Пусть - некоторая -конечная мера на , доминирующая семейство , то есть такая, что и . Для определенности можно полагать, что . Через
,
обозначим конечные варианты производных Радона-Никодима мер и соответственно относительно меры .
Введем отношения правдоподобия
, , (2.2)
полагая для определенности при и . Так как , то и, значит, отношения правдоподобия (2.2) вполне определены относительно мер , и . Введем следующие обозначения
, .
Для проверки гипотез и рассмотрим критерий уровня , полагая
, (2.3)
где - индикатор множества , , - параметры критерия , определяемые условием . Критерий (2.3) называется критерием Неймана-Пирсона уровня для проверки гипотез и . Из фундаментальной леммы Неймана-Пирсона [3, 32, 35, 62] следует, что критерий является наиболее мощным в классе всех критериев уровня . Всюду ниже будем рассматривать критерий Неймана-Пирсона уровня , вообще говоря, зависящего от . Пусть теперь - некоторое решение уравнения относительно . Введем обозначения , и
, ,
при этом полагаем, что . Тогда критерий Неймана-Пирсона , определенный равенством (2.3), будет иметь вид
. (2.4)
Отсюда следует, что вероятность ошибки первого рода критерия Неймана-Пирсона есть
Кроме того, (Замечание 2.1.1, [32])
Отсюда видно, что поведение вероятности ошибок критерия Неймана-Пирсона при полностью определяется поведением логарифма отношения правдоподобия при .
Для любого введем интеграл Хеллингера порядка для мер и [29, 34, 58].
Определение 2.1. Интегралом Хеллингера порядка для мер и называется величина
где - математическое ожидание по мере и
(2.5)
Заметим, что интеграл Хеллингера не зависит от выбора доминирующей меры (Лемма III.9.3 [62]). В качестве меры можно взять любую доминирующую меру, то есть такую, что вероятностные меры и являются абсолютно непрерывными относительно меры . Кроме того, из определения 2.1 следует, что
Аналогично интегралу Хеллингера определим интеграл Хеллингера порядка для мер и , полагая
Свойства интеграла Хеллингера достаточно хорошо изучены [78, 82, 90]. В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства интеграла Хеллингера . Введем следующие величины
, .
Лемма 2.1. (Лемма 2.3.2 [32] ). Для всех , отличных от 0 и 1, справедливы равенства
. (2.6)
Замечание 2.1. (Замечание 2.3.3 [35]). Если , то равенство (2.6) верно и при . Если , то также равенство (2.6) верно при . Если при рассмотрении математических ожиданий и в случае положить при , а в случае положить при , то тогда равенство (2.6) верно при любом . Более того, тогда при любом
, (2.7)
то есть есть производящая функция моментов случайной величины , которая, вообще говоря, является расширенной случайной величиной, так как .
Замечание 2.2. (Замечание 2.3.4 [35]). Если , то и, значит, мера абсолютно непрерывна относительно меры . Кроме того, из (2.5) следует, что . В случае имеем и, значит, мера абсолютно непрерывна относительно меры . Кроме того, из (2.5) получаем, что .
Из замечания 2.2 следует, что в случае меры и являются взаимно абсолютно непрерывными.
Лемма 2.2. Пусть и для любых и таких, что . Тогда для всех .
Утверждение леммы 2.2 непосредственно следует из определения 2.1 интеграла Хеллингера .
Всюду ниже будем использовать понятие выпуклой функции.
Определение 2.2. [56, 73]. Вещественнозначная функция , определенная на открытом интервале , где , называется выпуклой, если для любых и справедливо неравенство
. (2.8)
Функция называется строго выпуклой, если в (2.8) для всех указанных значений и выполняется строгое неравенство.
Из определения 2.2 следует, что выпуклая функция не является строго выпуклой тогда и только тогда, когда она линейна на некотором подынтервале интервала .
Если для всех справедливо неравенство и хотя бы для одного выполняется неравенство , то такую выпуклую функцию называют собственной [56].
Для любой функции на существует наибольшая полунепрерывная снизу функция, которая мажорируется функцией . Эту функцию называют полунепрерывной снизу оболочкой функции . Если при этом для всех значений из области определения, то ее полунепрерывную снизу оболочку называют за