РАЗДЕЛ 2
КОМПАРАТОРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ С КОНЕЧНОМЕРНЬІМ ОБРАЗОМ
2.1. Изоморфизм моделей компараторной идентификации
При компараторной идентификации используются две модели компаратора [86]. В первой сравниваются сигналы, преобразованные по одному и тому же закону, то есть осуществляется предикат эквивалентности
, (2.1)
где - множество входных сигналов, - множество выходных сигналов, F - отображение из А в В, - стандартный предикат равенства на, то есть
Во второй модели входные сигналы преобразуются по разным законам, то есть осуществляется предикат дифункциональности [47]
(2.2)
где - множество входных сигналов, - множество выходных сигналов, - отображения из А в В, - стандартный предикат равенства на .
С точки зрения идентификации и построения математических моделей реальных систем имеет смысл изучать только те предикаты, которых определяют отображение, входящее в правую часть равенств (2.1), (2.2) с точностью до изоморфизма. Покажем, что для предикатов эквивалентности и дифункциональности, и только для них, выполняется это свойство.
Утверждение 2.1. Пусть - отображение в , а - отображение в и отображения и обладают следующими свойствами: для любых : , тогда найдется взаимно однозначное соответствие , для которого .
Доказательство. На множестве отображение осуществляет разбиение его на классы следующим образом: лежат в одном классе, если . Будем обозначать это разбиение , а его элементы - , причем, если , то . Аналогично введем разбиение с элементами , индуцируемое на с отображением . Докажем, что эти разбиения совпадают, то есть . Для этого возьмем произвольный элемент и произвольные . Тогда , отсюда , то есть . Следовательно, любая пара из принадлежит . Значит, . Но это включение выполняется и в обратную сторону. Действительно, если , то , и это означает, что , то есть или . Последнее равенство означает, что любой элемент разбиения является элементом разбиения , и наоборот, следовательно .
Теперь построим взаимно однозначное отображение . Зафиксируем произвольный элемент . Для этого элемента найдется , для которого , значит . Поскольку , то найдется . Тогда , следовательно, - единственный элемент, . Положим . Покажем, что построенное отображение взаимно однозначно.
Пусть и . Тогда, так как каждому элементу из образа соответствует единственный элемент разбиения, то . Отсюда , и , следовательно, , то есть .
Покажем, что для любого , найдется , для которого . Действительно, произвольному соответствует . Отсюда вытекает, что в найдется элемент такой, что , а это означает: .
Окончательно имеем, что построенное нами отображение - взаимно однозначно.
Остается показать, что для этого отображения выполняется . Для этого возьмем произвольный элемент , тогда и . Отсюда , но так как и - элементы одного и того же разбиения, то (пересечение их - непустое множество). Но это значит, что , следовательно, .
Замечание 1. В доказательстве утверждения 2.1, выбрав произвольный класс , мы предполагали, что найдутся два элемента . Это предположение несущественно. Действительно, пусть состоит из одного элемента , то есть . Но тогда этот элемент входит в качестве класса и в разбиение . Он просто равен классу , для которого . Так как, если предположить, что содержит еще какой-либо элемент , то , значит , и , то есть существует . Но это противоречит предположению, что состоит из одного элемента.
Замечание 2. В утверждении 2.1 взаимно однозначное соответствие осуществляется только между образами отображений и . При этом между множествами и такого соответствия может и не существовать, поскольку условия утверждения останутся справедливыми, если , , где и - произвольные множества. Однако, если , а , то .
Утверждение 2.2. Пусть , , , - произвольные отображения, для которых выполняется свойство:
(2.3)
тогда найдется взаимно однозначное отображение , для которого на и , где , ; - множество , для которых , - множество , для которых .
Доказательство. Возьмем два произвольных элемента , таких, что и . Тогда найдется , для которого , . Отсюда, по условию утверждения 2.1, имеем, что и , то есть . Таким образом, если , то из равенства вытекает . Заметим, что если , то из равенства вытекает, что . Поэтому аналогичные рассуждения можно провести и в обратную сторону и показать, что для любых из равенства следует, что . Таким образом, на . Поэтому из утверждения 2.1 существует взаимоноднозначное отображение , для которого , .
Покажем, что для любого выполняется , где . Действительно, пусть , тогда и найдется . Заметим, что это означает . Следовательно, из условия 2.2 , с одной стороны, и - с другой, то есть .
Доказанные утверждения позволяют сформулировать и доказать следующие теоремы.
Теорема 2.1. Произвольный предикат , заданный на , удовлетворяет равенствам
(2.4)
где - стандартные предикаты равенства на множествах и соответственно; тогда и только тогда, когда найдется взаимнооднозначное отображение , для которого .
Доказательство. Необходимость. Пусть имеет место (2.4) и . Тогда или . Эту цепочку равенств можно пройти и в обратном порядке, то есть, если , то , и . Таким образом, , значит, равенства (2.4) выполняются.
Достаточность. Она вытекает из утверждения 2.1, так как при выполнении равенств (2.3) для любых следует, что .
Теорема 2.2. Произвольный предикат , заданный на , удовлетворяет равенствам
(2.5)
где - стандартные предикаты равенства на множествах и соответственно; тогда и только тогда, когда найдется взаимно однозначное отображение , для которого
где множества определены так же, как и в утверждении 2.2.
Доказательство. Необходимость. Пусть имеют место соотношения (2.5) и . Это означает, что Тогда из (2.5) получаем: или . Данные рассуждения проводятся и в обратном порядке. Следовательно, .
Достаточность. Достаточность, как и в предыдущем случае, вытекает из утверждения 2.2. Поскольку, ес