Раздел 2
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБОЛОЧКИ С БОЛЬШИМ ВЫРЕЗОМ.
2.1. Аналитическое описание НДС конструкции и выбор системы безразмерных параметров.
Объектом исследования является пространственная стержневая усечённая пологая оболочка в виде эллиптического параболоида, срединная поверхность которой описывается уравнением . Конструкции такого типа являются многократно статически неопределимыми, поэтому задача решается методом конечных элементов в перемещениях, что требует предварительного задания жесткостных характеристик основных несущих элементов. Исходя, из этого, целью исследования является получение системы пространственно-жесткостных безразмерных параметров, которые на начальном этапе расчёта позволят определить жесткости элементов. Пространственную стержневую пологую усечённую оболочку приводим к эквивалентной континуальной оболочке толщиной , где Ак.р., Ар.р. площадь поперечного сечения кольцевого и радиального ребер соответственно; Sк.р., Sр.р. шаг кольцевых и радиальных ребер соответственно.
Теория расчета тонких оболочек основывается на следующих гипотезах[75]:
- прямолинейный элемент, нормальный к срединной поверхности, остается прямолинейным и нормальным к ней после деформирования оболочки и не меняет свою длину (гипотеза прямых нормалей);
- нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности оболочки, пренебрежимо малы по сравнению с остальными напряжениями и при расчете не учитываются.
Так как отношение стрелы подъема оболочки к минимальному размеру в плане не превышает , согласно исследованиям В.З. Власова в работе [17], рассматриваемую оболочку можно считать пологой. Для пологих оболочек теория расчета имеет ряд упрощений [59]:
1. Коэффициенты первой квадратичной формы равны: A=B=1; C=0;
2. Коэффициенты второй квадратичной формы равны:
3. Кривизны поверхности равны ;
4. Влиянием перерезывающих усилий T13 и T23 в уравнениях и можно пренебречь.
Компоненты деформации срединной поверхности для пологих оболочек запишутся в виде
Условия равновесия пологой оболочки с учетом допущений запишутся в виде системы уравнений рис. 2.1.1:
Рисунок 2.1.1. Элемент оболочки размером dxdy с распределением внутренних усилийа) составим уравнение равновесия относительно оси X
Произведя сложение подобных слагаемых, получим
Разделив выше приведенное уравнение на площадь элементарной площадки оболочки dxdy, получим:
б) составим уравнение равновесия относительно оси Y
Произведя сложение подобных слагаемых, получим
Разделив выше приведенное уравнение на площадь элементарной площадки оболочки dxdy, получим
в) составим уравнение равновесия относительно оси Z. Для определения проекций усилий нормальных составляющих (см. рис. 2.1.2)
Рисунок 2.1.2. Распределение продольного усилия T1 в оболочке.
Произведем сложение подобных слагаемых и, отбросив слагаемые третьего порядка малости, получим
Разделим выше приведенное уравнение на площадь элементарной площадки оболочки dxdy и получим
Запишем уравнения суммы моментов относительно осей X, Y, Z, используя правило "буравчика" (рис. 2.1.3)
а) для оси х:
Произведем сложение подобных слагаемых и отбросим слагаемые третьего порядка малости
Разделим выше приведенное уравнение на площадь элементарной площадки оболочки dxdy и получим
Рисунок 2.1.3. Элемент оболочки размером dxdy с распределением внутренних усилий
б) произведем аналогичные операции, составив уравнение равновесия относительно оси Y
В результате получим известную систему уравнений статики для пологих оболочек
(2.1.1)
Рассмотрим систему уравнений равновесия по линии примыкания оболочки к контуру (граничные условия оболочки, см. Рис. 2.1.4 а, б) [59]. Уравнение не используется вследствие шарнирного крепления оболочки к контуру.
а)б) Рисунок 2.1.4. Схемы примыкания оболочки к контурам:
а ? к наружному опорному контуру; б ? к внутреннему кольцу, T1, T2 - радиальное и кольцевое погонное усилие оболочки; S - сдвигающее погонное усилие оболочки; М1,H-изгибающий и крутящие погонные моменты оболочки; Nкн - продольное усилие опорного контура; Mxкн, Mxкн - изгибающий момент в опорном контуре относительно оси Х и оси Z. Величины погонных усилий, используемые в уравнениях (2.1.1) могут быть выражены через соответствующие деформации перемещения. Поскольку, как показали предварительные расчеты, наибольшее влияние на изменение напряженно-деформированного состояния оказывают изгибные жесткостные характеристики опорных контуров и пролетной части оболочки, рассмотрим в дальнейшем упрощенный вариант формирования уравнений (2.1.1):
(2.1.2)
Запишем выше приведенную систему уравнений (2.1.1) в перемещениях, используя выражения (2.1.2).
(2.1.3)
Используя относительные координаты: , и относительные перемещения: , , , [38] (где a, b, a1, b1 - полуоси внешнего и внутреннего опорных контуров соответственно; R1 - радиус кривизны контуров в радиальном направлении; R2 - радиус кривизны внутреннего контура в плоскости XOZ; bкн, b1кн горизонтальный размер сечения внешнего и внутреннего контуров соответственно), получим систему уравнений статики в виде:
(2.1.4)
Рассмотрим уравнение совместности деформаций по линии контакта "внешний контур + оболочка"
(2.1.5)
По аналогии запишем аналогичное уравнение совместности деформаций по линии контакта "внутренний контур + оболочка"
(2.1.6)
Перепишем уравнение (2.5) в виде
. (2.1.7)
и разделим полученное уравнение на
.
Последним слагаемым в полученном уравнении можно пренебречь, так как вертикальные перемещения по линии сопряжения "внешний контур + оболочка" отсутствуют. Следовательно, уравнение приобретает вид
(2.1.8)
Аналогичные преобразования выполним для уравнения (2.1.6)
. (2.1.9)
Просуммировав уравнения (2