РОЗДІЛ 2
Метод змішаного базису в теорії електронного енергетичного спектра кристалів
2.1.Структура змішаного базису
Змішаний базис є прямою сумою підпросторів Блохових станів серцевини і плоских хвиль [53,54]:
. (2.1)
Функції Блоха
, (2.2)
де -квантові числа станів серцевини атома, -квазіімпульс з першої зони Брилюена, -координати атомів в елементарній комірці, вектори якої , а їх кількість у кристалі .
Плоскі хвилі, нормовані на об'єм кристала , представляються так:
, (2.3)
де -вектори оберненої гратки.
Атомні хвильові функції глибоких електронів вибирались у формі декартових гаусіанів
, (2.4)
параметри яких та розраховані [24] у наближені Хартрі-Фока.
Константи нормування зв'язані з орбітальними експонентними коефіцієнтами так:
. (2.5)
У формулі (2.4) набори відповідають таким станам глибоких електронних оболонок: визначає -стани, ,, відповідають -, - i - функціям, ,і визначають -, - і - функції, , і відповідають функціям , і , з яких формуються і -стани.
Згідно з таблицями параметрів гаусіанів [24] функції 1s, 2s, 3s і 4s мають спільний набір експонентних множників , а коефіцієнти розкладу є індивідуальними для перелічених станів. Те саме стосується функцій 2p, 3p, 4p для яких набір експонентних множників є спільним, , а коефіцієнти розкладу є індивідуальними у таблицях декартових гаусіанів [24].
Отже, вектор базисних станів глибоких електронів Ga, As чи Ge має такі складові:
, (2.6)
тобто складається з 14-х функцій, на яких будуються Блохові базисні функції (2.2). У кристалі GaAs підпростір локалізованих функцій складається з 28-х функцій: 14-х функцій Ga і 14-х функцій As.
Для Si, Al і P вектор базисних станів глибоких електронів має такі складові:
. (2.6.1)
У кристалі AlP підпростір локалізованих функцій складається з 10-х функцій: 5-х функцій Al і 5-х функцій P. Для кристалів GaP і AlAs підпростір локалізованих функцій складається з 19-х функцій: 14-х функцій Ga і 5-х функцій P для кристалу GaP та 5-х функцій Al і 14-х функцій As для AlAs.
Для алмазу вектор базисних станів глибоких електронів складається із 1s- станів:
. (2.6.2)
З метою уникнення систематичних помилок, зв'язаних з вхідними даними, для кожного з кристалів атомні хвильові функції (2.4) перевірялись на нормування:
. (2.7)
Для гаусіанів (2.4) формула (2.7) набуває такого вигляду:
, (2.7.1)
де
для s -станів , (2.7.2)
для -, - i -станів , (2.7.3)
для -, - і -станів , (2.7.4)
для -станів , (2.7.5)
для -станів . (2.7.6)
Для декартових гаусіанів [24] формули (2.7.1)-(2.7.6) справджуються з точністю 10-6?10-7 для всіх хвильових функцій, що використані в даній роботі.
2.2. Задача про власні значення енергії і хвильові функції напівпровідникових кристалів
Власні значення енергії та власні функції електронів напівпровідникових кристалів шукаємо з рівняння Шредингера
(2.8)
у якому є оператором кінетичної енергії, - потенціал, який діє на електрон у кристалі, є власний вектор, а власне значення енергії в точці зони Брилюена в енергетичній зоні номер . Хвильову функцію електрона в кристалі шукаємо у змішаному базисі [55,56]:
(2.9)
де - варіаційні коефіцієнти розкладу за Блоховими станами серцевини та плоскими хвилями, -вектори оберненої гратки, -квантові числа станів серцевини, -координати атома в елементарній комірці.
Математичне сподівання енергії електрона
. (2.10)
Будемо шукати для (2.10) мінімум, необхідною умовою якого є рівність нулю похідних
, . (2.11)
З рівностей (2.8)-(2.10) приходимо до системи лінійних рівнянь відносно невідомих коефіцієнтів , [57,58]
, (2.12)
де матричні елементи гамільтоніана
, (2.12.1)
, (2.12.2)
, (2.12.3)
, (2.12.4)
а елементи матриці перекривання
, (2.12.5)
, (2.12.6)
, (2.12.7)
Система однорідних рівнянь (2.12) має нетривіальний розв'язок за умови рівності нулю головного визначника [59,60]
, (2.13)
який є рівнянням степеня N відносно шуканого електронного енергетичного спектра , де N -порядок квадратної матриці гамільтоніана, який дорівнює числу включених в базис (2.9) функцій.
Для пошуку власних значень енергії використовуємо методи Хаусхолдера і QL-перетворень [61]. Перетворення Хаусхолдера приводить базову матрицю до тридіагональної фор