РАЗДЕЛ 2
ТЕОРИЯ СИЛЬНОЙ ФРАГМЕНТАЦИИ
Как отмечалось в предыдущем разделе, в литературе [1-56], посвященной проблемам теории фрагментации, отсутствует теория, которая бы описывала динамику разрушения и объясняла широкий спектр степенных законов распределения фрагментов по размерам [57-86], полученных эмпирическим путем. Таким образом, основная цель данного раздела заключается в построении такой теории.
В разделе предложена теория сильной фрагментации -мерных () объектов [91, 92]. В ней используется кинетический подход [93], обобщенный на случай, когда поверхность разлома фрагмента фрактальна. По современным представлениям это наиболее часто реализуемый в природе случай [88]. В качестве характеристики таких поверхностей в работе используется фрактальная размерность [88].
Предлагаемая теория фрагментации [91, 92] базируется на использовании ясных физических принципов, заведомо справедливых для процессов разрушения в системах самой различной природы. Это закон сохранения вещества при дроблении фрагментов и баланс между притоком энергии извне и энергией, затрачиваемой на образование новой поверхности (поверхности разломов) фрагментов. Впервые эти принципы применялись к проблеме фрагментации в работе [93].
Теория сильной фрагментации [91, 92] строится с использованием трех уровней описания, в соответствии с типом кинетического уравнения: линейной модели фрагментации, минимальной модели (или универсального предела теории фрагментации) и нелинейной модели. Вначале строится линейная модель фрагментации. В этой модели решения линейного кинетического уравнения для функции распределения формально дают два асимптотических закона и в крупномасштабной области размеров фрагментов. Аналитический и численный анализ полученных решений демонстрирует выход в асимптотический режим для достаточно широкого набора начальных условий. Однако релаксация функции распределения в асимптотический режим отсутствует и в системе не происходит потеря памяти о начальном распределении фрагментов, как в первом режиме.
Поскольку реализация первого асимптотического режима для функции распределения относится к вырожденному (или редко реализующемуся) случаю фрагментации, а второй асимптотический закон наиболее распространен в природе [69-76], важно понять причину отсутствия выхода на последний в линейной модели. Для этого следует рассмотреть асимптотики функции распределения в крупномасштабной области размеров фрагментов в пределе достаточно больших энергий. С этой целью в данном разделе сформулирована минимальная модель фрагментации, которая реализуется при больших энергиях, затраченных на разрушение. Эта модель обладает универсальными свойствами, и не чувствительна ко многим характеристикам разрушения объекта. В этой теории вводится дополнительный физический принцип, который заключается в естественном убывании потока объема фрагментов в крупномасштабной области размеров, с ростом вкладываемой энергии. По существу, этот принцип заменяет начальный этап нелинейной релаксации функции распределения в асимптотические режимы. В зависимости от характера убывания потока с энергией, удается выделить три универсальных асимптотических закона для функции распределения фрагментов по размерам. Два из которых ? это асимптотики, полученные, в линейной модели сильной фрагментации ( и ]), а третий соответствует случаю слабой фрагментации (), что можно понять из простых физических соображений. Таким образом, минимальная модель дает весь спектр показателей степенных распределений, реализующихся в природе (согласно экспериментальным данным [57-86], приведенным в таблицах 1.2 - 1.4).
Выше было отмечено, что в линейной модели отсутствует механизм выхода функции распределения на асимптотику . Однако, из экспериментальных наблюдений и минимальной модели следует, что она является наиболее часто реализуемым случаем. Причина этого может состоять в упрощенном учете нелинейных эффектов. Поэтому в диссертации сформулирована нелинейная теория, удовлетворяющая всем основным принципам теории фрагментации. Решение соответствующего нелинейного кинетического уравнения в этой модели выходит на искомый асимптотический закон. Показатель степени в этом законе является универсальным, поскольку не зависит от фрактальной размерности границ разломов фрагментов.
2.1. Общие принципы теории фрагментации
Прежде чем перейти к обсуждению фрагментации, задержимся на важном элементе теории ? определении понятия фрагмента. Существуют два свойства, позволяющих говорить о некотором физическом или математическом объекте как о фрагменте. Во-первых, этот объект должен иметь конечную внутреннюю меру. В качестве таковой удобно представлять массу или объем. Во-вторых, он должен обладать границей, мера которой также должна быть конечна. В качестве меры границы можно понимать площадь поверхности фрагмента. Присутствие обоих этих свойств одинаково важно. Действительно, легко представить себе фрагменты одинакового объема и с разными площадями поверхностей, как и наоборот. Граница поверхности фрагмента всегда нуль, и поэтому нет необходимости во ведении других геометрических мер для фрагмента.
Отметим, что само определение фрагмента выделяет две исключительно важные геометрические меры, на которых должны основываться все теории фрагментации. Эти меры фактически навязывают физические принципы необходимые для построения теории фрагментации.
С физической точки зрения возможно существование и других, уже не геометрических мер, характеризующих внутреннее состояние фрагмента. В процессе разрушения отдельного фрагмента на некоторое число более мелких фрагментов возможны два типа физического поведения: 1) когда внутренние состояния фрагментов не меняются, 2) когда претерпевают изменения и внутренние состояния фрагментов. Все существующие теории фрагментации ограничиваются естественным и наиболее простым предположением об отсутствии изменения внутренних состояний фрагментов в процессе дробления. Такое предпол