РАЗДЕЛ 2. МЕТОД РЕЗОЛЬВЕНТЫ В ЗАДАЧАХ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ПАРАМЕТРИЧЕСКИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СРЕДАХ
При построении математических моделей прохождения электромагнитных волн в средах с изменяющимися во времени материальными параметрами очень удачным оказался эволюционный подход А.Г. Неруха и Н.А. Хижняка [84], являющийся обобщением на случай нестационарных и неоднородных сред метода интегральных уравнений Н.А. Хижняка [79], созданный на случай только неоднородных сред. Данный подход оказался особенно плодотворным при аналитическом решении одномерных задач распространения электромагнитных волн в средах со скачкообразными, импульсными и импульсно-периодическими изменениями во времени материальных параметров безграничных и полуограниченных сред [72, 73, 85, 86], где преобразованная электрическая компонента поля ищется посредством резольвентного оператора интегрального уравнения Вольтерра второго рода. Важным достоинством такого моделирования процесса преобразования волн является относительная структурная простота и наглядность резольвенты, разностный вид которой позволяет получать точное аналитическое решение для отдельных частных задач.
В первом пункте данного раздела в общем виде записана математическая модель, описывающая поведение вектора электрической индукции электромагнитного поля при распространении электромагнитной волны произвольной формы в свободной среде с нестационарным включением произвольного характера. Данная модель представляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода, содержащее начальный момент нестационарности и граничные условия на поверхности разрыва полевых функций [84].
В последующих пунктах раздела получаются точные выражения для резольвент одномерных интегральных уравнений, описывающих преобразования электромагнитных волн в безграничной, полуограниченной магнитодиэлектрических средах и магнитодиэлектрическом слое, диэлектрическая и магнитная проницаемости которых изменяются скачком во времени.
2.1. Постановка задачи в общем виде.
Пусть до момента времени имеется однородная изотропная непроводящая магнитодиэлектрическая среда с магнитной и диэлектрической проницаемостью, соответственно равными некоторым постоянным и . Пусть, начиная с этого момента времени, значения магнитной и диэлектрической проницаемостей среды начинают меняться во времени по законам, описывающимся некоторыми функциями времени, соответственно и . Предположим, что до нулевого момента времени в среде распространялась электромагнитная волна ТМ типа, электрическая компонента поля которой описывается некоторой пространственно-временной функцией . Тогда, согласно результатам, изложенным в работе [84], электрическая компонента поля будет представлять собой одномерную функцию времени , поведение которой описывается интегральным уравнением Вольтерра второго рода
(2.1)
со свободным членом , ядром и характеристической функцией , описывающей область нестационарного включения.
Согласно теории интегральных уравнений [87], решение уравнения (2.1) может быть получено с помощью метода резольвентного оператора, согласно которому выражение для искомой функции получается посредством вычисления квадратур
(2.2)
где - суть резольвента интегрального уравнения (2.1).
Для удобства проведения выкладок в этом разделе перейдем к операторной форме записей уравнений и равенств. Так, например, операторная форма записи интегрального уравнения (2.1) будет иметь вид
(2.3)
а операторная форма записи равенства (2.3) - следующий вид
(2.4)
Резольвента интегрального уравнения (2.1) может быть найдена как решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода, операторная запись которого имеет следующий вид [87]
(2.5)
Согласно [84], оператор ядра для данной задачи определяется выражением
(2.6)
где операторы и , которые называются, соответственно, электрическим и магнитным операторами, согласно все той же работе [55], определяются интегралами
(2.7)
Здесь - дельта-функция Дирака; - скорость распространения света в свободном изотропном магнитодиэлетрическом пространстве с магнитной и диэлектрической проницаемостями, соответственно равными и ; - скорость распространения света в вакууме, а операторы , , получившие названия операторов среды, определяются соотношениями [84]
(2.8)
где - составляющая вектора поляризации поля, а - составляющая вектора магнитной индукции поля.
2.2. Резольвента интегрального уравнения на случай безграничной среды.
Получим выражения для ядра и резольвенты интегрального уравнения (2.1) на случай скачкообразного изменения проницаемостей безграничной среды от значений и до некоторых значений и , соответственно, в этом случае . Для этого целесообразно перейти к импульсному представлению всех операторов [76].
Соответствующий переход к импульсному представлению произвольного интегрального оператора осуществляется с помощью функций
по формулам
где связь оператора с его координатным представлением выражается посредством равенства:
Обратный переход от импульсного представления к координатному оператора производится посредством обратного преобразования Фурье-Лапласа:
Здесь и далее в работе предполагается, что .
Для операторов ядра и резольвенты в координатном и импульсном представлении интегральное уравнение (2.5) для данного случая безграничной нестационарной среды будет иметь вид
(2.9)
Расписывая вначале импульсное равенство из (2.9), с учетом равенства (2.6), будем иметь
(2.10)
Согласно [84], матричные элементы операторов распространения и среды в одномерном случае имеют вид
(2.11)
где Тогда, подставляя равенство (2.11) в (2.10), получим
(2.12)
где ; - скорость распространения света в свободном изотропном магнитодиэлетрическом пространстве с магнитной и диэлектрической проницаемостями, соответственно равными и .
Подставив теперь равенство (2.12) во второе равенство в (2.9),
- Київ+380960830922