РОЗДІЛ 2
НАПІВЕМПІРИЧНА ОДНОПАРАМЕТРИЧНА МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ КОЕФІЦІЄНТА ТУРБУЛЕНТНОЇ В'ЯЗКОСТІ
ТА НАБЛИЖЕНО-АНАЛІТИЧНІ ЗАЛЕЖНОСТІ ДЛЯ ПЛОСКИХ ПРИМЕЖЕВИХ ШАРІВ
2.1. Обгрунтування вибору однопараметричної математичної моделі коефіцієнта турбулентної в'язкості
Як зазначалося в розділі 1, досить привабливим є використання в формулах (1.27) та (1.29) для масштабу швидкості виразу замість . Тоді [53-55, 68]
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
(2.4)
При цьому турбулентне напруження тертя
(2.5)
залежить не тільки від локальної структури осередненої течії , а також від локальної структури пульсаційного руху .
Такий підхід в пристінній області дозволяє отримати відомі залежності. Так, безпосередньо біля стінки , , що зразу дозволяє отримати для буферної та в'язкої зон
(2.6)
для градієнтної течії,
(2.7)
при нульовому градієнтові тиску.
В логарифмічній зоні
(2.8)
при додатному і незначному від'ємному градієнтах тиску,
(2.9)
при незначних градієнтах тиску ,
(2.10)
при нульовому градієнті тиску.
Перша з приведених формул для логарифмічної зони - це узагальнений логарифмічний закон, який при приводить до класичного логарифмічного закону (остання з формул для логарифмічної зони), а при - до відомого закону одної другої
.
Якщо у зовнішній області вважати, що , то прийдемо до таких формул:
в зоні перекриття,
в зоні дефекту швидкості у випадку додатнього і незначного від'ємного градієнтів тиску;
в зоні перекриття,
в зоні дефекту швидкості при значному від'ємному градієнті тиску ;
в зоні перекриття,
в зоні дефекту швидкості при нульовому градієнті тиску. Детальний аналіз наведених вище формул та порівняння з експериментами виконано
в роботі [44].
2.2. Наближено-аналітичні залежності для кінетичної енергії турбулентності та її дисипації
Зрозуміло, що в логарифмічній області різні формули для коефіцієнта турбулентної в'язкості повинні приводити до класичного логарифмічного закону.
При нульовому градієнті тиску
(2.11)
або
(2.12)
З диференціального рівняння для енергії турбулентності (1.25) з припущенням локальної рівноваги для перехідної та логарифмічної зон випливає, що:
(2.13)
або
(2.14)
Якщо вважати, що в області локальної рівноваги для коефіцієнта турбулентної в'язкості масштаб довжини , то для кінетичної енергії турбулентності отримаємо:
, (2.15)
де - емпіричний коефіцієнт.
Наведені формули дозволяють отримати при нульовому градієнті такі залежності для логарифмічної області:
(2.16)
Якщо вважати, що (2.15) має місце також в перехідній та в'язкій зонах, профіль швидкості описується (2.6), коефіцієнт турбулентної в'язкості - залежністю (1.20), яка в цих зонах має вид
, (2.17)
то для кінетичної енергії та її дисипації отримуємо [53]:
(2.18)
(2.19)
З експериментів для течії в трубі та на пластині [80,87] переконуємося, що при наближенні до в'язкої зони порушується локальна рівновага.
Для того, щоб формулу (2.19) можна було використати і у в'язкому підшарі дисипативний член представляють як суму двох доданків, перший з яких виражає ізотропну дисипацію, а другий з них - це вираз, що врівноважує молекулярну дифузію, і який у в'язкій зоні пропорційний .
Таким чином
, (2.20)
де задається за формулою (2.19), а
(2.21)
Множник в (2.21) вводиться з метою врахування відхилення від локальної рівноваги при наближенні до стінки. Виконані порівняння розрахунків з експериментами, що наведені в роботі Хінце [87], дозволили отримати наступні апроксимації [53]:
(2.22)
(2.23)
Якщо присутній градієнт тиску, то формули (2.11) та (2.12) набувають вигляду:
, (2.24)
, (2.25)
де при , при ; ,
- коефіцієнт кінематичної в'язкості, - густина.
Формули (2.24) та (2.25) дозволяють отримати у в'язкій перехідній зонах при додатному градієнті тиску [53]:
, (2.26)
(2.27)
та
, (2.28)
(2.29)
при від'ємному градієнті тиску.
В логарифмічній зоні відповідно [53]:
, (2.30)
(2.31)
та
, (2.32)
. (2.33)
В автомодельному градієнтному прошарку [17] , що дозволяє отримати з (2.31) .
Ця формула співпадає з отриманою раніше Кадером [17] формулою з дещо інших міркувань.
У зовнішній області для знаходження кінетичної енергії турбулентності застосовано підхід Невзглядова та запропоновані В.Мовчаном степеневі наближення для напруження тертя (1.23, 1.24). В роботі Бредшоу, Феррісса, Атвелла [96] коефіцієнт пропорційності на основі досліджень Таунсенда вважався рівним , а в роботі К.Федяєвського, А.Гінєвського та А.Колєснікова [86] . Зрозуміло, що коефіцієнт треба визначати з параметричних досліджень турбулентних плоских пристінних течій, результати яких будуть приведені згодом. Для дисипації кінетичної енергії в зовнішній області застосована залежність, яку запропонував Вольштейн та дещо пізніше Норіс та Рейнольдс [81] виду:
, (2.34)
де - емпірична стала.
Для кількісної оцінки отриманих тут наближених формул для коефіцієнта турбулентної в'язкості, кінетичної енергії, турбулентності та її дисипації виконано порівняння розрахунку з експериментом.
На рис.2.1 наведено порівняння розрахунків (лінія) з експериментами Лауфера (квадрати) для течії в трубі та Клебанова (трикутники), які наведені в Хінце [87], для кінетичної енергії турбулентності біля стінки.
Рис.2.1. Порівняння розрахункових та експериментальних профілів кінетичної енергії турбулентності в околі стінки:
лінія - розрахунок; квадрати - експеримент Лауфера для турбулентної течії в трубі; трикутники - експеримент Клебанова для турбулентної течії на пластині
На рис.2.2 наведено порівняння розрахунків (хрестики) з експериментом Клебанова (лінія) в поперечному перетині примежевого шару пластини при .
Рис.2.2. Порівняння розрахункових та експериментальних профілів кінетичної енергії турбулентності в поперечному перетині пристінної течії плоскої пластини:
лінія - розрахунок при ; хрестики - експеримент Клебанова для течії на пластині
На рис.2.3 наведено порівняння розрахунків (хрестики) з експериме
- Київ+380960830922