РОЗДІЛ 2
КОЛИВАННЯ КОМПОЗИТНИХ КОНСТРУКЦІЙ
ІЗ ПАСИВНИМ ДЕМПФІРУВАННЯМ
Як видно з наведеного вище огляду, одним із основних факторів, що забезпечують створення ефективних вібростійких конструкцій, є внутрішнє розсіяння енергії або демпфірування коливань. Порівняно низький рівень розсіяння енергії в існуючих конструктивних матеріалах вимагає пошуку механізмів його збільшення. Цей пошук відбувається у двох основних напрямках: внесення додаткових конструктивних елементів із спеціальних матеріалів, у більшості випадків в'язкопружних, і створення конструкцій із композиційних матеріалів із високими характеристиками розсіяння енергії.
Очевидно, обидва напрямки узагальнюються в одному - створенні композитних структурно-неоднорідних конструкцій із використанням структурної неоднорідності як засобу збільшення розсіяння енергії.
У даному розділі розглянемо математичні моделі композитних конструкцій, які відносять до першого напрямку під назвою пасивних демпфіруючих пристроїв. Основна ідея, яка реалізується у елементах пасивного демпфірування, полягає у тому, що демпфіруючий матеріал розміщується у конструкції у вигляді покриттів, вставок або прошарків у місцях, де забезпечуються їх інтенсивні деформації. Основним елементом, характерним для пасивного демпфірування, є багатошарова структура з відповідним закріпленням шарів для реалізації деформацій розтягу-стиску і зсуву.
У зв'язку зі складністю геометричних форм і умов закріплення одержати аналітичні розв'язки задач коливань конструкцій із пасивним демпфіруванням у більшості випадків неможливо. Про це свідчать й існуючі дослідження, які обмежуються розглядом найпростіших елементів при суттєвих припущеннях про геометрію, фізичні характеристики і вид напруженого стану. Тому природно звернутись до методу скінченних елементів (МСЕ), який дозволяє врахувати структурну неоднорідність і граничні умови без принципових ускладнень.
Оскільки більшість матеріалів, які використовуються для демпфірування, є в'язкопружними [77], доцільно, залишаючись у рамках цієї моделі, скористатись запропонованою у роботі [41] концепцією побудови скінченно-елементних моделей конструкцій із розсіянням енергії у просторі інтегральних перетворень Фур'є. При цьому суттєвим є те, що побудова скінченних елементів та скінченно-елементної моделі конструкції і розв'язок рівнянь коливань проводяться у просторі перетворень Фур'є, і тільки на останньому етапі виконується перехід до часового простору за допомогою швидкого перетворення Фур'є (ШПФ).
2.1. Рівняння коливань конструкцій із пасивним демпфіруванням
Для одержання рівняння коливань використаємо варіаційні рівняння теорії в'язкопружності, записані у згортках [65].
Згорткою двох функцій і називають інтеграл
. (2.1)
Зокрема, інтегральні залежності Больцмана-Вольтерра для в'язкопружного матеріалу можна теж записати у вигляді згортки
, (2.2)
де - матриці відповідно напружень, деформацій і функцій релаксації; .
Використання згортки дозволяє також урахувати початкові умови безпосередньо у рівняннях руху і одержати крайову задачу, для якої варіаційні формулювання будуть аналогічними існуючим у теорії пружності.
Скористаємось рівнянням Лагранжа у згортках [65]
, (2.3)
де , ( - час);
- вектори деформацій, напружень, зовнішніх сил, і переміщень відповідно;
- початкові умови для векторів швидкості й переміщень;
- матриця густини матеріалу.
Напруження і деформації визначаються залежностями
, (2.4)
де А - матриця диференціальних операторів
. (2.5)
Будемо розшукувати розв'язок рівняння (2.3) у формі
, (2.6)
де - матриця функцій системи,
- узагальнені координати у часовому просторі.
Після підстановки (2.6), (2.4) у (2.3), одержимо
, (2.7)
де
, (2.8)
( - початкові значення узагальнених переміщень і швидкостей).
З (2.7) одержуємо рівняння коливань у згортках
. (2.9)
При нульових початкових умовах -
. (2.10)
Для розв'язку одержаних рівнянь можна використати крокові методи, однак труднощі одержання і використання матриць функцій релаксації змушують шукати альтернативні методи. Таким методом є розглянутий вище метод інтегральних перетворень Фур'є.
Застосуємо до (2.10) пряме перетворення Фур'є, після чого одержимо рівняння відносно зображень узагальнених переміщень
, (2.11)
де - комплексна матриця динамічної жорсткості
, (2.12)
- комплексна матриця жорсткості
(2.13)
- зображення Фур'є вектора зовнішніх навантажень
. (2.14)
- матриця комплексних модулів матеріалу
.
Таким чином, для одержання рівняння коливань у просторі перетворень Фур'є необхідно побудувати матрицю динамічної жорсткості і знайти пряме перетворення Фур'є діючого навантаження. Побудова матриць проводиться аналогічно побудові матриць жорсткості й навантажень для ідеально-пружних конструкцій, але замість модулів пружності використовуються відповідні комплексні частотно-залежні модулі.
Як видно, структура рівняння (2.23) аналогічна структурі рівнянь статики, за винятком того, що матриця динамічної жорсткості є функцією частоти, а узагальнені переміщення є зображеннями Фур'є дійсних переміщень.
Матрицю динамічної жорсткості можна обчислювати, використовуючи безпосередньо матриці комплексних модулів, компоненти яких, у свою чергу, визначаються експериментально [164], тобто побудову математичних моделей в'язкопружних конструкцій можна проводити безпосередньо у просторі перетворень Фур'є. Ідея використання скінченно-елементного моделювання у просторі перетворень Фур'є запропонована у роботах В.В.Хільчевського і В.Г.Дубенця [41]. У даній роботі цей підхід розвивається для частотно-залежного розсіяння енергії (для конструкцій з в'язкопружних матеріалів).
Зазначимо, що можливість такого підходу розглядалась багатьма авторами, але реалізація його заперечувалась у зв'язку зі складністю розрахунків, і далі зауважень дослідження не продовжувались [77, 102, 161]. На наш погляд, однак, труднощі реалізації опис