РОЗДІЛ 2
СТАТИСТИЧНА ЗБІЖНІСТЬ ТА ОБМЕЖЕНІСТЬ
І ТАУБЕРОВІ ТЕОРЕМИ ІЗ ЗАЛИШКОМ ДЛЯ ДЕЯКИХ МЕТОДІВ
ПІДСУМОВУВАННЯ ПРОСТИХ І ПОДВІЙНИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ
2.1. Тауберові умови і -точки послідовності
2.1.1. Поняття тауберової теореми і тауберової умови. Огляд результатів. Тауберова теорема - це теорема, що дає умови (тауберові умови), накладання яких на послідовність або функцію гарантує її належність до певного класу в разі збіжності або обмеженості деяких її середніх. Сама назва "тауберова теорема" пішла від імені австрійського математика А. Таубера, котрий вперше довів таку теорему:
Теорема Т1 (А. Таубер, 1897) [65, с. 191]. Якщо ряд підсумовується методом Абеля - Пуассона до числа (тобто ряд , де , збігається в інтервалі до і ) і , то .
Отже, самому Тауберу належить умова . Ця теорема поклала початок численним дослідженням, які тривають і понині. Вони сформували собою так звану тауберову теорію, дуже широку і розмаїту.
Наведемо деякі з перших тауберових теорем.
Теорема Т2 (Г. Харді, 1910) [65, с. 157]. Якщо ряд підсумовується до числа методом Чезаро порядку і , то ряд збігається до числа .
Теорема Т3 (Е. Ландау, 1910) [65, с. 157]. Якщо ряд підсумовується до числа методом Чезаро порядку і , то ряд збігається до числа .
Теорема Т4 (Р. Шмідт, 1924) [65, с. 162]. Нехай дано ряд з дійсними членами і нехай послідовність його частинних сум задовольняє умову , коли . Якщо середні Чезаро деякого порядку послідовності обмежені, то і . Якщо ж ряд підсумовується до числа методом Чезаро порядку , то .
Умови , і називають тауберовими умовами Харді, Ландау та Шмідта, відповідно.
У двох наступних теоремах тауберові умови стосуються вже не всіх членів ряду, а лише тих, індекси яких знаходяться поблизу деякої фіксованої послідовності .
Теорема Т5 (М. А. Євграфов, 1952) [11]. Нехай члени ряду задовольняють умову для , , де число і послідовності , наперед задані. Якщо середні Чезаро порядку послідовності обмежені, то і . Якщо ряд підсумовується до числа методом Чезаро порядку , то .
Теорема Т6 (М. Обрєшков, 1953) [11]. Нехай члени ряду задовольняють умову для , , де число і послідовності , наперед задані. Якщо середні Чезаро деякого порядку послідовності обмежені, то і , де , . Якщо ряд підсумовується до числа методом Чезаро порядку , то , де , .
У багатьох сучасних твердженнях тауберової теорії часто навіть не помітно схожості з першими теоремами тауберового типу, бо стосуються вони різноманітних перетворень послідовностей і функцій та їх властивостей. При цьому самі функції визначені на довільних множинах і набувають значень з абстрактних просторів. Існує декілька монографій з тауберової теорії, у яких поняття тауберової теореми трактується по-різному: [65], [75], [31], [46], [3], [53], [66], [68], [10].
Разом з цим постійну увагу дослідників привертали класичні методи підсумовування (Гельдера, Чезаро, Ріса, Вороного, Ейлера, Бореля, Абеля - Пуассона та інші [65]). Так, у 1956 році М. О. Давидов відкрив новий спосіб одержання тауберових теорем для методів Чезаро - "спосіб (с)-точок".
У роботі [11] М. О. Давидов назвав (с)-множиною комплексної послідовності замкнену опуклу множину , якщо , , : , і , де - це замкнений -окіл множини . Якщо, зокрема, , то точка називається (с)-точкою послідовності . Точку він назвав (с)-точкою послідовності , якщо існує послідовність замкнених опуклих множин , відстань яких до точки , а , де і ті самі, що і вище.
М. О. Давидов довів наступну теорему, яку назвав (с)-властивістю методів Чезаро .
Теорема Т7 (М. О. Давидов, 1956) [11]. Якщо ряд підсумовується яким-небудь методом до числа , а множина є (с)-множиною послідовності , то . Якщо є (с)-точкою послідовності , то середні Чезаро послідовності необмежені.
За допомогою цієї властивості М. О. Давидов довів ряд теорем, які містять у собі як частинні випадки теореми Т2 - Т6, сформульовані вище. Виявилося, що з усіх тауберових умов теорем Т2 - Т6 випливає така умова: "кожна часткова границя послідовності є її (с)-точкою". У цій же роботі [11] М. О. Давидов продемонстрував, як можна одержати властивість, аналогічну теоремі Т7, для методу Ріса та для інтегрального аналога методу Ріса, а у своїй наступній роботі [12] - для інтегрального аналога методів Чезаро.
Таким чином, виник новий напрям у тауберовій теорії. А саме: ставилася задача перенести результати роботи [11] на різні методи підсумовування, насамперед класичні та їх модифікації. Цей напрям розвивали М. О. Давидов [12] - [14] та його учні: В. І. Мельник [32] - [34], Л. Ф. Таргонський [59], [60], Г. О. Михалін [36] - [43], М. О. Калаталова [20], [21], М. Ф. Бурляй [5], [6], О. П. Кохановський [27] - [29], О. І. Соколенко [51], В. І. Кузьмич [30], Л. С. Тесленко [36], [61], М. М. Білоцький [7] - [9].
Так, Л. Ф. Таргонський [59] переніс (с)-властивість на додатні поліноміальні методи Вороного, не змінюючи понять (с)-множини і (с)-точки. До речі, О. І. Кохановський [29] встановив, що на довільний метод Вороного перенести (с)-властивість, не змінюючи означень (с)-множини і (с)-точки, не можна, а сам він виконав [28] "видозмінене" перенесення (с)-властивості на один клас методів , де задовольняє умову: . До такого класу належать, наприклад, методи Чезаро , де , і гармонічний метод з .
М. О. Калаталова [20] перенесла (с)-властивість на методи Чезаро (,) підсумовування подвійних рядів. М. Ф. Бурляй [6] досліджував методи Ріса, Бореля і Абеля підсумовування подвійних послідовностей. Він розглядав особливий вид збіжності - так звану -збіжність подвійних послідовностей, і для названих методів знайшов (с)-властивості, відповідні -збіжності.
Пізніше В. М. Алданов і Г. О. Михалін [2] дістали (с)-властивість і тауберові теореми із залишком для методів і підсумовування подвійних послідовностей та для інтегральних аналогів цих методів.
Окрім (С)-точок М. О. Давидов та його учні досліджували так звані (С*)-точ