Розділ 2. ТОПОГРАФІЧНІ ЗОБРАЖЕННЯ ДИСЛОКАЦІЙНИХ ПЕТЕЛЬ В КРИСТАЛАХ КРЕМНІЮ
Сучасний рівень розвитку динамічної теорії розсіяння Х-променів реальними кристалами дозволяє замінити довготривалі експериментальні дослідження на чисельний експеримент по встановленню фізичної природи і механізмів Х-променевого дифракційного формування зображень будь-яких дефектів і впливу на нього різних чинників. Це суттєво доповнює можливості отримання якісної і кількісної інформації про реальний стан спотворення кристалічної гратки, що і визначає актуальність теми досліджень.
Метою даного розділу є побудова моделей складних дефектів, таких як дислокаційні петлі, проведення на основі рівнянь Такагі чисельного розрахунку топографічних зображень дислокаційних петель та їх впливу на відбивну розсіюючу здатність кристала в цілому.
(2.1 Модельні представлення дислокаційних петель
2.1.1 Поля зміщень навколо дислокацій
Розглянем моделі, за допомогою яких можна знайти вирази для полів зміщень навколо прямолінійної дислокації [85,86] в ізотропному середовищі.
Рис. 2.1.1 Права гвинтова (а) та крайова (б) дислокації
У випадку розміщення лінії дислокації по вісі Oz (рис.2.1.1), поле зміщень навколо гвинтової дислокації описується рівнянням [38]:
, (2.1.1)
Відповідні зміщенню (2.2.12) напруги визначаються як:
. (2.1.2)
Вирази напруг для прямої крайової дислокації записуються згідно [38]:
; ;
; ; (2.1.3)
.
Виходячи з виразів для напруг, зміщення запишуться у вигляді:
, (2.1.4)
. (2.1.5)
Більш загальний вираз для зміщень прямолінійної дислокації дається [85,86]:
, (2.1.6)
де ?- тілесний кут, стягнутий в точці поля додатньою стороною напівнескінченної площини, границею якої є лінія дислокації. Додатня сторона площини знайдена з напрямлення дислокації за допомогою правила правої сторони.
Рис. 2.1.2 Система координат, де відомі аналітичні вирази для полів зміщень дислокації
При враховуванні анізотропії середовища задача з отримання виразів для полів зміщень суттєво ускладнюється. У кінцеві вирази будуть входити компоненти тензора пружних постійних. Крім того, рівняння теорії пружності можливо розв'язати для дислокації, якщо одну з осей направити по дислокаційній лінії [38].
Розрахунок поля зміщень прямолінійної змішаної дислокації. Визначимо систему координат наступним чином (рис.2.1.2): вісь OZ співпадає з лінією дислокації, а вектор Бюргерса лежить в площині XOZ (перпедикулярний вісі OY).
Тоді будь-яку змішану дислокацію можна представити як суму двох: чисто крайової та чисто гвинтової дислокацій. Вектор Бюргерса гвинтової дислокації напрямлений паралельно вісі OZ, а крайової - паралельно вісі OХ. Тоді проекції векторів Бюргерса на вісі OX та OZ будуть:
, . (2.1.7)
Функція локальних розорієнтацій пропорційна похідній по напрямку від скалярного добутку вектора дифракції та вектора зміщення:
. (2.1.8)
Відомо, що похідна по напрямку є величина скалярна та рівна проекції градієнта на напрямок. Тому в різних системах координат її значення буде однакове:
. (2.1.9)
Вектор поля зміщень можна записати наступним чином:
, (2.1.10)
де , , .
Розпишемо похідну по напрямку:
Оскільки ні одна з компонент не залежить від z, то часткова похідна по z буде рівна нулю. Тоді отримаємо:
(2.1.11)
Рис. 2.1.3 До розрахунку поля зміщень сегмента дислокації
Щоб розрахувати значення функції локальних розорієнтацій, необхідно виконувати переходи від кристалографічної системи координат до системи координат палатки Бормана, а потім до системи координат дислокації, в якій і відомі аналітичні вирази для поля зміщень.
Розрахунок для сегмента дислокації певної довжини.
Для побудови дислокаційних петель необхідно розраховувати дислокаційні сегменти певної довжини.
На рис.2.1.3 зображено схематично дислокаційний сегмент та точку розрахунку Ps. Значення у точці Ps отримується наступним чином: розраховується значення функції локальних розорієнтацій для U(xs, ys) як для дислокації нескінченої довжини, а потім домножається на коефіцієнт, що враховує віддаленість точки від дислокаційного сегменту. Головна умова вибору коефіцієнта - це зміна його значення від 0 при ?=0 до 1 при ?=?/2.
З рисунка видно, що
.
Продиференціювавши вирази для полів зміщень та зробивши деякі перетворення, можна показати, що часткові похідні від зміщень будуть пропорційні наступним виразам:
, ,
,
, .
де F1, F2, F3, F4 - множники, що є безрозмірними та мало впливають на порядок величини похідних. Тому для врахування віддалення точки розрахунку від дислокаційного сегменту був вибраний коефіцієнт
, (2.1.12)
що, на нашу думку, найбільш правильно буде описувати спадання функції локальних розорієнтацій з відстанню.
В загальному випадку вказаний спосіб розрахунку годиться для прямолінійного дислокаційного сегмента малої довжини. Для розрахунку функції локальних розорієнтацій криволінійної дислокаційної лінії довільної довжини необхідно апроксимувати цю лінію малими прямолінійними відрізками дислокацій і застосувати описаний вище підхід. Наскільки малими відрізками необхідно розбивати дислокаційну лінію - справа суто індивідуальна для кожної задачі.
2.1.2 Петлі у вигляді кола
Найпростіша модель дислокаційної петлі будується у вигляді сферично симетричних включень різних розмірів та потужностей, а геометрично петля представляється у вигляді кола (рис2.1.4а).
Рис. 2.1.4 Моделювання дислокаційної петлі включеннями (а) та дотичними крайовими дислокаціями (б)
Потужність самої петлі в цьому випадку можна задавати по-різному. Перший спосіб - це при постійній кількості включень змінювати їх потужність, а другий - при постійній потужності варіювати їх кількістю. Тоді, якщо врахувати поля зміщень для сферично симетричного включення [52], можна записати для