ГЛАВА 2
РАСЧЕТ ПОТОКА И СПЕКТРА АНТИНЕЙТРИННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ЗЕМЛИ
3222
2.1. Расчет парциальных и суммарных антинейтринных спектров отдельных нуклидов.
Расчет антинейтринного излучения какой-либо совокупности радиоактивных ядер
базируется на знании антинейтринного спектра нуклидов каждого типа и их
концентраций. Соответственно, выражение для антинейтринного спектра системы
ядер можно представить в виде:
, 33334
где – вероятность распада -го нуклида, – количество ядер -го нуклида в системе
, – антинейтринный спектр -го нуклида нормированный на распад ядра.
В свою очередь схема распада отдельного нуклида, как правило, включает в себя
несколько парциальных -переходов. Так на рис. 2.1 представлена схема -распада
метастабильного состояния ядра , входящего в ряд . Как видно из рис. 2.1,
возможны 25 различных парциальных -переходов метастабильного состояния ядра в
различные состояния ядра , каждый из которых характеризуется своей граничной
энергией и вероятностью перехода.
Рис. 2.1. Схема -распада метастабильного состояния ядра .
Антинейтринный спектр какого-либо нуклида представляет собой линейную
комбинацию спектров всех возможных парциальных -переходов данного ядра с учетом
интенсивности соответствующего парциального -перехода
. 35436
В дальнейшем, вслед за [34], будем называть парциальным спектром, – суммарным
спектром нуклида, а спектр совокупности радиоактивных ядер, определенный
выражением (2.1) – эффективным спектром. При условии, что парциальные спектры
нормированы на единицу, нормировка суммарного спектра будет иметь вид
, 37538
следовательно, чтобы суммарный спектр был нормирован на распад ядра, т.е. с
учетом всех возможных каналов распада, должно выполняться равенство
. 39640
где – коэффициент ветвления по каналу -распада, т.е. число -частиц на один
распад ядра.
Если же суммарный спектр нормировать на единицу, то подобная нормировка будет
соответствовать нормировке на один -распад, тогда как общее число распадов
равно числу -распадов только в случае отсутствия альтернативных каналов
распадов. В реальных схемах распада, как их принято приводить в литературе,
часто наблюдается несоответствие и коэффициента . Это несовпадение приводит к
необходимости преобразования выражения (2.2) к виду
. 41742
Для расчета вероятности -распада применяются методы теории возмущений, причем
значительная малость константы взаимодействия позволяет ограничиться
рассмотрением лишь членов первого порядка, отражающих только прямые переходы из
начального состояния в конечное. Вероятность перехода системы из начального
состояния с энергией в некоторое конечное состояние с энергией в единицу
времени при условии равна
. 43844
Матричный элемент определяется видом гамильтониана взаимодействия и волновых
функций начального и конечного состояний ядра:
. 45946
Вычисление квадрата матричного элемента (2.7) сводится к интегрированию по
объему ядра и усреднению по всем ненаблюдаемым переменным.
Величина определяет плотность конечных состояний системы на единицу энергии и
называется статистическим множителем. Для -распада в пренебрежении малой
энергией отдачи ядра (~15 кэВ) полная энергия распределяется между электроном и
антинейтрино:
. 471048
Выражение имеет вид
. 491150
Здесь – число состояний электрона для значений импульса, лежащих в интервале от
до ; – число состояний антинейтрино для значений импульса, лежащих в интервале
от до . Представив элементы объема фазового пространства в виде
, 511252
с учетом релятивистских соотношений (для )
; 531354
можно получить
. 551456
Тогда выражения для статистического множителя в зависимости от исследуемого -,
-излучения примут вид соответственно:
571558
591660
После подстановки выражений для статистического множителя в уравнение (2.6) и
интегрирования по углам, получаются окончательные выражения для числа -,
-частиц с энергией в интервале от до :
; 611762
. 631864
Выражения для парциальных спектров -, -частиц связаны с вероятностью их
излучения в энергетический интервал от до условием нормировки на единицу:
; 651966
, 672068
где знаменатель – полная вероятность -го парциального -перехода нуклида .
Отметим, что выражения для парциальных -спектров могут быть получены из
выражений для -спектров с учетом кинематической связи между электроном и
антинейтрино (2.8) заменой переменной переменной .
Выражения (2.17) и (2.18) содержат матричный элемент в самой общей форме. При
рассмотрении конкретных ситуаций они могут принимать различные модификации,
обусловленные учетом различных приближений и поправок. Все -переходы можно
разделить на два класса: разрешенные и запрещенные различной степени запрета,
которые значительно (на несколько порядков) отличаются друг от друга своей
интенсивностью. Разрешенные переходы вносят определяющий вклад в суммарный
спектр -распада ядра, вклад запрещенных переходов обычно составляет лишь
несколько процентов полной интенсивности, но они могут играть заметную роль в
случаях, когда из-за характерной структуры материнского и дочернего ядер
подавляются разрешенные переходы. Конкретный вклад разрешенных и запрещенных
переходов в вероятность -распада удается описать с использованием в выражении
для гамильтониана взаимодействия и вероятности -распада разложения лептонного
тока в ряд по характерным для -распада малым параметрам:
. 692170
Условие малости и (где – длина волны лептонов; , – импульс электрона и
антинейтрино соответственно; – радиус ядра) выполняется в -распаде во всех
рассматриваемых случаях. При этом нулевой член разложения описывает наиболее
интенсивные раз
- Київ+380960830922