РОЗДІЛ 2
ЕЛЕМЕНТИ АНАЛІЗУ У НАПІВГРУПАХ НАПІВСТОХАСТИЧНИХ МАТРИЦЬ
За змістом вжитий тут термін “аналіз у напівгрупах напівстохастичних матриць”
співзвучний терміну “матричний аналіз” як “підхід до задач лінійної алгебри,
згідно з яким без вагань використовуються поняття аналізу – границя,
неперервність,степеневі ряди, -- якщо вони більш ефективні або більш природні,
ніж чисто алгебраїчні засоби” [23, c.8].
У зв’зку з цим тут розглянуто дві задачі: задача існування границі
де напівстохастична матриця, і задача побудови елементарних функцій від
матриць. Але значення функції на напівстохастичній матриці , взагалі кажучи, не
є напівстохастична матриця, то довелося розширити клас досліджуваних матриць, а
саме, за базову множину було взято множину квадратних матриць з комплексними
елементами і зі сталою сумою елементів рядків кожної такої матриці.
2.1. Регулярні та ергодичні напівстохастичні матриці
Оскільки напівгрупа є регулярною, то для елементів, які породжують циклічні
групи , необхідно з’ясувати, за яких умов такі групи володіють невласними
елементами, тобто за яких умов існує
або ,
а можливо послідовність збігається за Чезаро.
Означення 2.1.1 Напівстохастична матриця називається регулярною, якщо існує .
Означення 2.1.2 Напівстохастична матриця називається ергодичною, якщо існує
Нехай для напівстохастичної матриці . Складемо матрицю
Тобто рядками матриці є вектори-рядки i.
Теорема 2.1.1 Матриця – ідемпотентна і
. (2.1.1)
Доведення. Для матриці маємо:
Ідемпотентність матриці доведена. Для матриці маємо:
А для матриці , скориставшись тим, що , маємо:
І рівність (2.1.1) доведена.
Теорема 2.1.2 Якщо для напівстохастичної матриці , то для будь-якого
натурального
. (2.1.2)
Доведення. Для маємо . Для кожного з припущення, що
випливає, що
А оскільки за теоремою 2.1.1
і , то маємо:
Отже, (2.1.2) має місце для будь-якого натурального .
Приклад 2.1.1 Нехай маємо матрицю
, де .
Якщо , то власні числа матриці будуть , , , а її спектральне подання має
вигляд
Тоді -ий степінь буде таким
або
Якщо , то для
Якщо , то
і матриця регулярна. Оскільки для цієї матриці , , , то індекс матриці при
відмінний від нуля і
Отже, .
Якщо , то , тобто , (). Тоді
не існує, а
Індекс матриці . Крім того
Якщо , то
, , , .
А отже,
Крім того,
Якщо , то
не існує. Однак для оберненої матриці
спектральне подання має вигляд
і тому
Теорема 2.1.3 Якщо напівстохастична матриця регулярна і , то
. (2.1.3)
Доведення. Оскільки матриця регулярна то існує єдина матриця така, що . Але
тоді , тобто .
Очевидно, що матриця напівстохастична і кожен її рядок є лівим власним
вектором, що відповідає власному числу 1. А оскільки , то в силу теореми 1.3.8
одиниця просте власне число матриці . Отже, множина власних векторів, що
відповідає власному числу 1 і до якої включено нуль-вектор, є одномірним
підпростором простору , у якому є єдиний напівстохастичний вектор I(A). А це
якраз і означає, що . ?
Теорема 2.1.4 Якщо напівстохастична матриця ергодична і , то
. (2.1.4)
Доведення. Оскільки напівстохастичні, то і матриця – напівстохастична.
Отже, коли
, то – напівстохастична.
Якщо у рівності
перейти до границі при , то отримаємо, що . Далі міркування проводимо так, як
при доведенні попередньої теореми. ?
Зауважимо, що коли , то існує і дорівнює . Але навпаки твердження невірне.
Тобто, якщо напівстохастична матриця регулярна, то вона ергодична, однак не
всяка ергодична матриця є регулярною.
Теорема 2.1.5 Напівстохастична матриця , у якої , регулярна тоді і тільки тоді,
коли існує таке, що
(2.1.5)
Тут , де – максимальне власне число матриці .
Доведення. Необхідність. Нехай . Тоді існує
причому це нульова матриця. Скориставшись тим, що всі власні числа матриці
невід’ємні, а всі власні числа нульової матриці – нулі, маємо:
Але тоді існує таке, що
Достатність. Оскільки
і таке, що
то .
Покажемо, що у цьому випадку має місце поелементна збіжність. Якщо –
максимальне власне число матриці
то .
Всі власні числа матриці невід’ємні, а їх сума дорівнює сліду цієї матриці, то
Отже, таке, що
Припустимо, що не є нульовою матрицею. Тоді існує послідовність
і таке , що для будь-якого існує таке, що
Для таких
Отримане протиріччя і доводить, що
. ?
Якщо існує
і , то кратність власного числа 1 не нижче другої, і хоча кожен рядок матриці є
лівим власним вектором, що відповідає власному числу 1, однак ці власні
вектори, взагалі кажучи різні. Разом з тим, задачу відшукання їх і побудову
матриці можна звести до випадку, коли . А саме, будуємо матрицю , у якої
елементи -го стовпця мають вигляд
,
для всіх . Всі інші елементи збігаються з відповідними елементами матриці . Для
матриці будуємо вектор
і переходимо до границі при . Як результат, маємо -ий рядок матриці .
Приклад 2.1.2 Нехай маємо матрицю
де . Очевидно, що . А оскільки
то у випадку маємо:
Тоді для матриці
маємо:
, , .
Отже,
і .
Аналогічно для матриць
,
маємо:
, ,
і ,
,
і .
Виходячи з того, що рівність
можна розглядат
- Київ+380960830922