РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА ТА ДОСЛІДЖЕННЯ МОДЕЛІ КАНАЛУ ЗВ’ЯЗКУ З МЕТОДОМ ТЕСТУВАННЯ
В розділі розглядаються питання знаходження параметрів передавання тестової
реалізації для тестування каналу зв’язку, що є необхідним для застосування
методів адаптації.
Вибір довжини реалізації тестової послідовності при обчисленні кореляційної
функції випадкових процесів
Пропонується метод вибору необхідної довжини реалізації при експериментальному
визначенні кореляційних функцій одного класу нормальних стаціонарних випадкових
процесів. Метод базується на зв’язку параметрів статистичних характеристик
процесу із середнім числом максимумів і мінімумів в одиницю часу.
Вхідну величину системи регулювання, звичайно, можна розглядати як випадковий
процес, статистичні властивості якого на кінцевій довжині реалізації змінюються
мало [64]. При цьому є підстава припускати, що випадковий процес формується із
суми складових після багаторазового фільтрування лінійними операторами. Такий
випадковий процес можна вважати розподіленим за нормальним законом, і після
порівняно простих статистичних перетворений його можна з достатньої для
практики точністю звести до стаціонарного.
Оцінка кореляційної функції стаціонарних ергодичних випадкових процесів для
кінцевого часу реалізації Т визначається виразом:
, (2.1)
де - центрований випадковий процес.
При цьому виникає задача вибору довжини реалізації Т, виходячи з оцінки
очікуваних статистичних помилок, обумовлених кінцевим часом реалізації.
Природно за характеристику точності оцінки (2.1) прийняти середнє квадратичне
відхилення (СКВ)
СКВ визначається в точці максимуму кореляційної функції, тобто при = 0.
Величина СКВ в інших точках R() найбільше повно розглянута тільки для простих
кореляційних функцій виду:
, (2.2)
де D - дисперсія,
, - постійні.
Необхідна довжина реалізації визначається необхідною точністю обчислення
кореляційної функції і її властивостями. Кореляційні функції (2.2) описують
також випадкові процеси, у яких не існує похідної. В той самий час більшість
випадкових процесів у промислових системах є такими, що диференціюються, тому
при визначенні величини Т можна користуватися виразом (2.2) лише як дуже грубою
апроксимацією реальної кореляційної функції.
Для вибору довжини реалізації досліджуваний процес необхідно віднести до
певного класу випадкових процесів з відомою структурою кореляційної функції,
тобто задатися його математичною моделлю. Якщо прийнята модель досить повно
відображує процес, то методика обчислення оцінок кореляційної функції R() буде
оптимальною в змісті мінімальної різниці між апріорно заданою величиною СКВ і
величиною СКВ, отриманої по R().
Для аналізу доцільно розглянути нормальні стаціонарні диференційовані
випадкові процеси, кореляційна функція яких має монотонний характер. Такі
кореляційні функції можна апроксимувати лінійною комбінацією експонент.
Задовільні результати можна отримати, якщо обмежитися сумою двох експонент.
Тоді
, (2.3)
де та - постійні.
Подібна апроксимація позбавлена недоліків, неминучих при використанні (2.2),
і надає кореляційній функції «фізичний» характер.
Нижче буде показано, що необхідну довжину реалізації для отримання
кореляційної функції (2.3) із заданою точністю можна оцінити безпосередньо для
відрізку реалізації випадкового процесу. Для оцінки використовується зв’язок
середнього числа максимумів і нулів випадкового процесу в одиницю часу з
параметрами кореляційної функції й .
Для вибору необхідної реалізації СКВ оцінки кореляційної функції (2.1)
центрованих випадкових процесів з нормальним розподілом визначається формулою
. (2.4)
Зрозуміло, що формулу (2.4) можна застосувати до нормованої кореляційної
функції . З (2.3) можна отримати
. (2.5)
Підставляючи (2.5) в (2.4) і вводячи безрозмірні параметри , при >10 можна
отримати наступне співвідношення для :
, (2.6)
. (2.7)
Співвідношення (2.6) і (2.7) отримані після відкидання членів вищого порядку
малості , , , у порівнянні з , , , .
Точність обчислених значень оцінок , як видно з (2.6) та (2.7), залежить від
значеннь й . Величина кореляційної функції прагне до нуля зі зростанням
аргументу , чого не можна сказати про СКВ при фіксованій довжині реалізації .
Величина СКВ зі зростанням прагне до постійної величини.
Викликають зацікавленність межі зміни величини СКВ для кореляційних функцій
(2.3) при зміні й . З виразів (2.6) і (2.7) видно, що з ростом від 0 до
зменшується у два рази для будь-яких і зменшується в 2,5 рази зі зміною від 1
до при будь-яких . Таким чином, похибка обчислення кореляційної функції істотно
залежить не тільки від , але й від та .
СКВ характеризує точність значень кореляційної функції лише в тому випадку,
коли визначене саме ця величина. Тому доцільно ввести ще одну характеристику
точності - коефіцієнт мінливості F випадкової величини :
, (2.8)
де - математичне очікування.
Коефіцієнт мінливості зростає з ростом , і значення при більших практично не
будуть давати ніякої інформації про випадковий процес.
Величину необхідної довжини реалізації можна визначити, виходячи з довірчих
інтервалів для в точках . Однак випадкові процеси в промислових об’єктах тільки
приблизно можна вважати нормальними. Тому знаходження кінцевої залежності для
розподілу різних обчислених значень кореляційної функції є дуже чіткою умовою.
Очевидно, розподіл несиметричний щодо своїх середніх при малих значеннях
аргументу. Але з ростанням розподіл прагне до нормального.
Надалі в межах припустимої точності при більших будемо вважати нормально
розподіленим. Тоді ймовірність того, що результат вимі
- Київ+380960830922