РОЗДІЛ 2
МЕТОДИКА РОЗВ’ЯЗАННЯ ЛІНЕАРИЗОВАНОЇ ЗАДАЧІ
ЗА ПОЛЕМ, ЗАДАНИМ НА НЕОБМЕЖЕНІЙ МНОЖИНІ
Наведено ітераційні процеси для розв’язку лінійного інтегрального рівняння з
ядром Пуассона, та його узагальненого аналогу, незалежного від апріорі
невідомого параметра h. Досліджено характеристики їх збіжності на класі
Нумерова. Поліпшено алгоритми уточнень нумерівського наближення контакту та
наведено схему екстраполяції поля за межі профілю.
У першому розділі отримано ряд лінійних інтегральних рівнянь 1-го роду для
визначення контакту і . Перед нами постають питання їх розв’язності, тобто
вивчення умов єдиності, існування і стійкості розв’язків. Для рівнянь
(1.231)-(1.44) їх буде розглянуто уперше, а для рівняння (1.232) цю проблему
розглянуто в [4, 51], причому Б.О. Андреєв запропонував для розв’язку рівняння
спосіб послідовних наближень, М.М. Лаврентьєв обґрунтував його не лише для
рівняння (1.232), а і для інших видів операторних рівнянь 1-го роду, а В. М.
Страхов [102] використав цей спосіб для знаходження розв’язку рівняння,
аналогічного (1.39). Однак лишилось відкритим питання співвідношення
швидкостей збіжності і точності послідовних наближень розв’язку кожного з
рівнянь (1.232) і (1.39) та деякі інші властивості. Практична значущість цих
досліджень полягає у тому, що точність обчислення контактних границь залежить
не лише від похибок функції , а й від довжини інтервалу її задання.
Рис. 2.1. Необхідна довжина профілю
Щоб оцінити необхідну для відновлення аномального контакту з гарантованою
точністю довжину профілю, скористаймось простим емпіричним прийомом: поле на
ділянці змоделюємо впливом прямокутника потужністю , апріорі більшим за ефект
досліджуваного контакту; обчисливши із розв’язку прямої задачі, на якій
віддалі від цього прямокутника його аномальний ефект стане меншим заданої
точності e, отримаємо бажану величину l. Для отримання значень поля з
достатньою точністю слід обчислювати його на досить довгих профілях. При
вирішенні даної контактної задачі не враховуємо крайові ефекти, але нескладний
чисельний експеримент (обчислення трьох членів розкладу (1.4) в ряд для поля
вертикального циліндра з відношенням його радіуса до висоти ) доводить, що
подовження профілю на у кожен бік і фіксації кожної сублінійної ділянки
границі 2-3 точками достатньо для отримання розв’язку із задовільною точністю
в 4.3%.
Аналіз існування розв’язку рівняння (1.10) на основі властивостей функцій ,
заданих у необмеженій смузі:
,
завершився [142, 94, c. 57] збудованим на компакті процесом послідовних
наближень
, ,
що збігаються зі швидкістю геометричної прогресії із знаменником . О. О. Шванк
[157, с. 373] запропонував еквівалентний [1 Строге обґрунтування їх
еквівалентності наведено в [87, с. 61].] ітераційний процес
де ефект n-го наближення; його збіжність не доведено строго, а лише окреслено
на чисельних прикладах.
2.1. Спосіб Нумерова розв’язання контактної задачі
Найперший спосіб отримання наближеного розв’язку нелінійного інтегрального
рівняння (1.10) базується на припущенні про належність його розв’язку до
певного класу, формалізованого множиною . Такий стан речей дав змогу
лінеаризувати рівняння (1.10) з точністю до сталої [58, c. 51] до вигляду [2 В
якому перша складова виражає потенціал тяжіння мас, розміщених в областях
ундуляції кривої контакту відносно деякої лінії середньої глибини h, а друга
потенціал від горизонтального плоскопаралельного шару над цією лінією.]
де аномалія поля в деякій фіксованій точці , у якій апріорі відомо глибину до
контактної поверхні, а припущення про те, що контактну границю у першому
наближенні можна замінити функцією, яка описує відповідним чином каліброване
поле , дозволило подати друге і остаточне наближення границі у такому вигляді,
який визначає розв’язок як аналітичне продовження напруженості поля в бік
тяжіючих мас на середню глибину h шуканого контакту:
(2.11)
аналогічне міркування справедливе для узагальненого виразу (1.15)
(2.12)
де . На основі такого тлумачення лінеаризації (зауваження 1.7) це наближення
можна подати у еквівалентному вигляді ; отже, для його знаходження досить
обчислити значення середньої глибини при додаткових вимогах з підмножини В2.
Зауваження 2.1. До речі, таке трактування дозволяє означити головні
властивості розв`язку неперервність і гладкість функцій контакту. Інтеграл
Пуассона через неперервність свого ядра однозначно переводить будь-яку
кусково-неперервну функцію в неперервну, тоді як обернена задача відновлення
неперервної функції із кусково-неперервної неоднозначна. Через це при
визначенні контактної поверхні (якщо окремо не задано розмір і характер
розриву неперервності), звичайно, обмежуються неперервними і гладкими
розв`язками.
Наближення прийнято вважати остаточним, хоча ще в [58, с. 54] відзначено його
низьку точність. Відзначмо, що інтегральний вираз (2.11) в трактовці Нумерова
залишився нерегуляризованим, в силу чого справедливий лише для шару, верхньою
границею якого є поверхня спостережень. Для загального випадку, властивого
нашій постановці, його слід уточнити.
Наведемо відповідні міркування. Нехай вертикальна складова напруженості поля
, а глибину контакту задано не в точці , а в деякій іншій точці . Запишімо,
виходячи із співвідношення (1.232) різницевий вираз
і визначмо граничні при значення і , відповідно, знизу (при ) і зверху (при );
отримаємо в підсумку
позаяк відокремлено від нуля, інакше в дужці { був би третій член. Інтеграли в
дужках розуміємо в смислі головного значення, враховуючи