РОЗДІЛ 2
Аналіз реакції моделей прогонової будови на рухоме навантаження
В розділі наведено результати аналізу динамічних реакцій різних розрахункових
моделей прогонової будови на дію рухомого навантаження. Визначені основні умови
та обмеження, які необхідні для методичної реалізації моделі.
2.1. Аналіз реакцій математичної моделі прогонової будови на дію рухомого
навантаження
Визначення динамічних реакцій прогонової будови від дії рухомого навантаження
відноситься до задач статистичної динаміки. Заміна рухомого навантаження
нерухомим, яке змінюється за гармонічним законом значно спрощує математичний
аналіз. Найбільш відомим є розв’язок задачі про динамічний відгук балки, по
якій рухається сила, запропонований в минулому столітті академіком Криловим.
Аналіз цього розв’язку, як і аналіз розв’язку системи диференційних рівнянь для
більш загального випадку, дозволяє прийти до висновку, що результуючою реакцією
є складні коливання, що утворені так званою квазістатичною реакцією та реакцією
(коливанням), яка залежить від власних динамічних характеристик конструкції.
При цьому квазістатична реакція відрізняється від аналогічної статичної певним
коефіцієнтом, який в даному випадку залежить від швидкості руху навантаження. З
результуючої віброграми квазістатичну складову можна виділити методом
осереднення віброграми.
Задачу про визначення переміщення будь-якої точки прогонової будови під час
руху по ній навантаження можна розділити на дві простіші задачі: про
переміщення балки під час руху по ній сили та про переміщення маси на балці
(поперечна балка прогонової будови) при зміщенні її опор (сусідніх балок).
2.1.1. Аналіз розв’язку задачі для балки. У даній задачі, нехтуючи силами опору
та власною масою навантаження, наближено приймаючи лінію впливу прогину
однопрольотної балки в середині прольоту за синусоїду, маємо рівняння для
прогину середини балки з прольотом L при русі по ній сили P зі швидкістю v
(2.1) [6], [41], [61], [147]:
(2.1)
де д11 - прогин балки від одиничної сили в середині прольоту;
щk – циклічна частота власних коливань балки k-ї форми;
иk = kрv/L; вk =иk/щk.
Враховуючи швидке сходження ряду (2.1), аналізувати графік переміщення середини
балки зручніше за його першим членом
(2.2)
Графік (лінію впливу) статичного прогину отримуємо, підставляючи в=0 в (2.2),
(2.3)
як бачимо маємо синусоїду, саме ту форму яку ми наближено прийняли для
знаходження рішення поставленої задачі. Формулу (2.2). запишемо у вигляді двох
доданків
(2.4)
Перший доданок є лінією статичного прогину, ординати якої збільшені на
коефіцієнт s=1/(1- в2). При 0< в1 < 0,1 цей коефіцієнт майже не відрізняється
від одиниці (похибка в межах одного проценту), отже перший доданок (y1(t)) з
достатньою для практики точністю є функцією, яка описує лінію статичного
прогину. Звідси випливає умова щодо швидкості руху навантаження. Оскільки в1 =
и1/щ1= рv/Lщ1= v/2Lf1, де f1 – перша частота власних коливань балки, маємо
умову обмеження швидкості руху навантаження
(2.5)
В табл. 2.1 наведені значення перших частот власних коливань прогонових будов з
різною довжиною прольоту. Таблицю складено за результатами динамічних
випробувань близько сотні прогонових будов, які виконані особисто автором за 15
останніх років та даних літератури [49], [56], [59], [150].
Таблиця 2.1
Значення частот власних коливань
реальних прогонових будов різної довжини
№п/п
Розрахункова довжина прольоту, L, м
Діапазон частот власних коливань першої форми, f1 , Гц
Значення Lf1
8,3
14,5…15,4
120…128
11,1
11,5…13,1
128…145
13,7
8,2…8,9
112…122
16,3
6,2…8,5
101…138
21,8
3,8…6,5
83…141
32,5
3,4…3,9
110…127
42
1,95…2,28
82…96
79
1,4
110
100
0,98
98
147
0,58
85
Як бачимо, для реальних балкових прогонових будов добуток Lf1 знаходиться в
межах від 80 до 145 (м/сек), отже швидкість руху навантаження у більшості з
випадків не повинна перевищувати 16 м/сек (57 км /год).
Другий доданок у формулі (2.4) описує гармонічні коливання з циклічною частотою
щ. Отже, сумарно маємо лінію, яка утворена накладанням гармонічних коливань на
лінію статичного прогину. При цьому лінія статичного прогину є серединною
лінією результуючої кривої (рис. 2.1).
Таким чином, цілком справедливим буде і розв’язання оберненої задачі, а саме
статичну лінію прогину можна отримати провівши серединну лінію віброграми
прогину балки від рухомого навантаження.
Сила тертя, яка пропорційна швидкості переміщення, в реальній прогоновій будові
практично не впливає на функцію y1(t), складова швидкість якої при виконанні
умови (2.5) в десятки разів менша ніж максимальні швидкості коливального руху
за функцією y2(t). Фізичний вплив сили тертя при реальних коефіцієнтах опору
проявляється не в миттєвому, а в поступовому зростанні амплітуди коливань
відносно лінії статичного прогину на протязі декількох перших періодів. При
збільшенні швидкості руху навантаження та малій довжині прольоту сили опору
впливавють також і на форму кривої y1(t) – внаслідок зміщення фази руху балки
відносно зміни сили ця крива стає асиметричною, про що давно відомо з практики
випробування мостів [144]. При виконанні умови (2.5) асиметрія не перевищує
1…2% від довжини прольоту.
Рис.2.1. Графік коливань балки за формулою (2.4).
Реальне навантаження це послідовний рух як мінімум двох сил (дві чи більше
осей) тому результуюча віброграма буде сумою двох чи більше кривих, при цьому
висновок про серединну лінію віброграми буде справедливим і в цьому випадку.
Вплив нерівностей дорожнього покриття проявляється у вигляді додаткової сили
від прискорення маси автомобіля при переїзді нерівностей. При швидкості руху
50км/год час
- Київ+380960830922