РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОЛНОВОЙ ЗУБЧАТОЙ ПЕРЕДАЧИ
С ДВУМЯ ГИБКИМИ КОЛЕСАМИ И ГЕНЕРАТОРОМ каЧениЯ
2.1. Объект исследования и основные положения расчетной модели
В диссертационной работе предметом исследования является волновая зубчатая
передача с двумя гибкими, двумя жесткими колесами и с кулачковым генератором
качения [7].
Схема ВЗП с двумя гибкими колесами, связанными с одним тихоходным валом
показана на рис. 2.1. Она содержит: два гибких колеса Z1Г, Z2Г; два жестких
колеса Z1Ж, Z2Ж; кулачковый генератор волн с двумя гибкими подшипниками H1, H2;
быстроходный и тихоходный валы.
Рис. 2.1. Схема волновой передачи с двумя гибкими, двумя жесткими колесами и
кулачковым генератором качения
Исследование волновой зубчатой передачи с кулачковым генератором качения с
учетом всех факторов, которые оказывают влияние на её характеристики,
чрезвычайно затруднено ибо они по-разному влияют на работоспособность передачи.
Поэтому в диссертации разработана математическая модель, адекватная реальному
объекту исследований, позволяющая использовать современный математический
аппарат и, что очень важно для прикладных работ, достаточно простая.
Рассмотрим влияние на работоспособность передачи таких качественных
характеристик как, крутильная жесткость, КПД и предельный момент. Для
определения качественных характеристик, которые зависят от сил, действующих на
звенья ВЗП, необходимо исследовать силовое взаимодействие передачи. Под
действием сил, возникающих в передаче, происходит изменение формы гибких колес,
которая, в свою очередь, влияет на перераспределение сил, поэтому исследование
формы гибких колес в нагруженной ВЗП является важной задачей.
Гибкие зубчатые колеса - это основные элементы передачи, которые совместно
деформируются в радиальном направлении кулачковым генератором волн и силами в
зацеплении при передаче вращающего момента. В работах [13, 15, 38] проведен
расчет гибкого колеса волновой передачи, где гибкое колесо представлено как
сочетание цилиндрической оболочки и зубчатого венца, который можно
рассматривать как кольцо. Расчет проводился на основе полубезмоментной теории,
однако в работе [15] считалось, что кольцо, сопряженное с оболочкой,
деформируется так же, как и свободное, не учитывая влияния оболочки. В работе
[13] рассматривалось гибкое колесо, нагруженное только парой радиальных сил.
Присоединением к кольцу пояска эквивалентной жесткости учитывалось влияние в
работе [38].
Задачу о нахождении формы гибкого колеса под нагрузкой решаем с помощью трех
систем уравнений: 1) уравнений равновесия, связывающих внешние и внутренние
силовые факторы; 2) геометрических уравнений, связывающих перемещения и
деформации; 3) уравнений упругости, связывающих деформации с напряжениями и
внутренними силовыми факторами.
Расчет формы гибких колес производим для ВЗП с одним колесом, так как
найденное решение будет адекватно для каждого из гибких колес ВЗП, где таких
колес два, учитывая при этом, что оболочка внутреннего колеса является
подкладным кольцом для внешнего колеса.
Представим колесо как тонкую цилиндрическую оболочку, связанную с одной
стороны с пластинкой, а с другой - с кольцевым стержнем, моделирующим зубчатый
венец. При расчете конструкции, не учитывается жесткость кольцевого бруса при
изгибе по направлению нормали к его плоскости и при кручении. Принимаем, что
сдвиг и деформация в срединной поверхности отсутствуют. В этом случае, отделяя
оболочку от кольца, получим схему нагружения, показанную на рис. 2.2, где qR -
эквивалентная радиальная нагрузка и qT - эквивалентная касательная нагрузка,
возникающие вследствие деформации кольца генератором волн и действия сил
зацепления, S° - усилия взаимодействия оболочки и кольца.
Рис. 2.2. Расчетная схема гибкого колеса
Для оболочки рассматриваем однородную задачу при граничных условиях:
a=0, =0, v=0, , =0, S=S°(j),
где a и j - координаты оболочки, - интенсивность силы действующей вдоль
образующей, возникающей в срединной поверхности. Распределение усилия S°
взаимодействия оболочки и кольца определяем из условия совместности их
деформаций, на линии контакта окружные перемещения оболочки и кольца должны
быть одинаковыми.
Выведем дифференциальное уравнение упругой линии кольца в своей плоскости.
Выделим из кольца бесконечно малый элемент (рис. 2.3), на него действуют
радиальная нагрузка qR и касательная нагрузка qT. Внутренние силовые факторы,
которые возникают в поперечном сечении при нагружении, обозначим: N -
нормальная сила, Q - поперечная сила и M - изгибающий момент. Указанные на рис.
2.3 направления силовых факторов приняты положительными.
Напишем уравнения равновесия:
(2.1)
Слагаемые, имеющие более высокий порядок малости, в этих уравнениях отброшены.
Исключив из системы уравнений (2.1) N и Q, получим уравнение с одним
неизвестным:
(2.2)
Теперь рассмотрим перемещения и деформации элемента кольца. На рис. 2.4.
представлен элемент кольца до и после деформации, где w - радиальное, v -
касательное смещения точки кольца и q-угол поворота нормали. Перемещения точек
b и а отличаются на бесконечно малые величины ¶w, ¶v и ¶q.
Направления перемещений w, v и q, указанные на рис. 2.4, приняты
положительными. Ввиду малости перемещений принимаем допущения sinq=¶q, cosq=1,
а также sin¶j=¶j, cos¶j=1. Приравняв нулю сумму проекций звеньев замкнутого
многоугольника aka1b1dbа на направление радиуса и на направление касательной к
окружности и положив, получим два уравнения:
где a1b1=a