Групи з інваріантними нормалізаторами підгруп

Розділ 2
Конструктивний опис та класифікація деяких класів
2-груп з НОРМАЛЬНИМИ НОРМАЛІЗАТОРАМИ ПІДГРУП
Досліджуються 2-породжені 2-групи із класу t з нецентральним комутантом;
вводиться поняття канонічної пари твірних та визначаються числові інваріанти,
за допомогою яких дається повна класифікація усіх таких груп, з точністю до
ізоморфних образів. Вивчаються 2-породжені 2-групи із t з додатковими
обмеженнями на комутант. Досліджуються 2-групи із класу t з нецентральним
комутантом, породжені елементом і двома інволюціями; знайдено усі типи таких
груп.
2.1. Основна теорема та класифікація скінченних 2-породжених 2-груп із класу t
2.1.1. За означенням група G О t тоді і тільки тоді, коли NG(H)G, для кожної
підгрупи H Ј G. За твердженням 1.2.9 усяка t-група G О D3.
Нехай G = – довільна 2-група із t з нецентральним комутантом. Тоді G –
скінченна 2-група і Gў = , де c1 = [u, v], [u, v, u] = un,
[u, v, v] = vm, n = n1Ч2, m = m1Ч2, n1, m1 – непарні числа; 1 Ј k1 Ј a1, 1Ј l1Ј
b1; |u| = 2, |v| = 2, |c1| = 2g = expGў, expG = 2a, expG3 = 2a – k; a1 і b1.
Надалі запис G = = G(S) означає, що твірні u, v групи G задовольняють
вказані умови.
Відмітимо, що опис 2-породжених груп G з центральним комутантом відомий ([77],
[82]).
Покладемо: K = З , L = З , M = З , R = З
З (Ч), S = З (Ч), T = З (Ч).
Лема 2.1.1. Для довільної 2-групи G = G(S) = О t виконується:
k1 + g і a1; l1 + g і b1; k1 + l1 і a1,b1; 2Чk1 і a1; 2Чl1 і b1; k1 + 1 і g;
l1 + 1 і g; a1 і g; b1 і g, c1= u; c1= v; k + g і a;
якщо З = {1}, то 4Ч(n – m)2t, де t = min{a1, b1};
|R|Ч|M| = |S|Ч|L|;
якщо k + g > a, то для довільного числа s і g виконується рівність (uiЧvjЧc1m)=
uЧvЧc1.
Доведення. Твердження пунктів 1), 3) і 4) безпосередньо випливають із
визначення групи G(S), твердження 1.2.7 і леми 1.3.3. Нехай З = {1}.
Оскільки за твердженням 1.2.8 комутатор c1 = [u, v] нормалізує підгрупу ,
то [c1, uЧv] = unЧvm О . Знайдеться таке натуральне n, що unЧvm =
= (uЧv)n. За твердженням 1.2.7 для довільного елемента y О G і g = uЧv маємо:
(yЧg)4Чn = y4ЧnЧg4Чn, оскільки gn О Z(G) і 1 = [g2Чn, y] = [g, y]2Чn. Звідси
v4Чn =
= (u –1Чg)4Чn = u –4ЧnЧu4ЧnЧv4Чm, а тому u4Ч(n – n) = v4Ч(n – m), отже 4Ч(n –
m)2t, де t =
= min{a1, b1}. Лему 2.1.1 доведено.
Лема 2.1.2. Нехай 2-група G = = G(S) О t і виконується рівність
uiЧvjЧc1m = 1, де множники № 1. Тоді мають місце твердження:
елементи ui, vj і c1 попарно переставні; множина T = З (Ч) –
підгрупа групи G;
виконується хоча б одна із умов: а) |ui| Ј |vj| = |c1m|; б) |vj| Ј |ui| =
|c1m|;
в) |c1m| Ј |ui| = |vj|;
Доведення. Маємо 1 = [u, vjЧc1m] = c1jЧ[u, v, v]Ч[u, c1m], звідси c1j О Z(G).
Отже 1 = [c1j, v] = [c1, vj] і, аналогічно, 1 = [c1, ui], а тому [ui, vj] = 1.
Нехай елементи c1n, c1l О T, тоді c1n = usЧvr і с1l = utЧvh. Оскільки [vr, ut]
= [u –sЧc1n, ut] = 1, то c1nЧc1l = us+tЧvr+h О T, а тому T – підгрупа групи G.
Інші твердження очевидні. Лему 2.1.2 доведено.
Лема 2.1.3. Нехай 2-група G = = G(S) О t і uiЧvjЧc1m = 1, де множники №
1. Тоді мають місце твердження:
якщо K = L = {1} і M № {1}, то c1= uЧv, де l, t – непарні числа; 1 Ј l < r Ј g;
|c1m| = |vj| = 2r і |ui| = 2r – l, r < b1;
якщо K = M = {1} і L № {1}, то c1= uЧv, де l, t – непарні числа; 1 Ј l < r Ј g;
|c1m| = |ui| = 2r і |vj| = 2r – l, r < a1;
якщо L = M = {1} і K № {1}, то c1= uЧv, де l, t – непарні числа; 1 Ј l < r <
b1; r – l Ј g; |ui| = |vj| = 2r і |c1m| = 2r – l;
якщо K = M = L = {1}, то c1= uЧv, де l, t – непарні числа; 1 Ј r Ј g і |c1m| =
|ui| = |vj| = 2r; r < b1;
якщо виконується одна із рівностей: R = , S = або T = , то
виконуються і дві інші рівності. Крім того у випадку 1) маємо |M| = 2l; у
випадку 2) |L| = 2l і у випадку 3) |K| = 2l.
Доведення. 1) Нехай K = L = {1} і M № {1}. Тоді |vj| = |c1m| = 2r і |ui| = 2r –
l, де 1 Ј l < r Ј g, а тому із uiЧvjЧc1m = 1 маємо рівність c1= uЧv, де l, t –
деякі непарні числа. Очевидно |S| = 2r тоді і тільки тоді, коли |T| = 2r.
Нехай |S| = 2r. Очевидно елемент uО R. Нехай t = 2 і ut О
О R, тоді 1 № ut = vrЧc1s, для деяких натуральних r і s. Оскільки K = L = {1},
то vr № 1 і c1s № 1, а тому за доведеним r = 2Чr1 і s = 2g – rЧs1. Таким чином
1 № u= vЧc1О , що неможливо. Отже доведено |R| = 2r – l.
Нехай тепер |R| = 2r – l. Оскільки c1= vО M, то |M| і 2l. Якщо |M| > 2l, то
елемент vО , а тому 1 № uО , що суперечить умові L = {1}. Отже
встановлено |M| = 2l. За лемою 2.1.1 (пункт 3) |R|Ч|M| =
= |S|Ч|L| = |S|, звідси |S| = 2r.
2) Нехай K = M = {1} і L № {1}. Цей випадок розглядається аналогічно до випадку
1). Отже маємо рівність c1= uЧv. Крім того, якщо виконується одна із рівностей:
|R| = 2r, |S| = 2r – l або |T| = 2r, то виконуються і дві інші, причому |L| =
2l.
Нехай L = M = {1} і K № {1}. Тоді |vj| = |ui| = 2r і |c1m| = 2r – l, де 1 Ј l
<
< r < b1; r – l Ј g. Із рівності uiЧvjЧc1m = 1 маємо рівність c1= uЧ
Чv, де l, t – непарні числа. Очевидно, uО K, а тому |K| і 2l. Припустимо |K| >
2l, тоді елемент uО K, а тому u= v, де w – непарне. Звідси 1 № c1= uЧlЧ v О
, що суперечить умові L = {1}. Отже доведено |K| = 2l. Очевидно, |S| = 2r «
|T| = 2r –l « |R| = 2r. Твердження пункту 4) випливає безпосередньо із леми
2.1.2. Лему 2.1.3 доведено.
Позначимо K* узагальнену групу кватерніонів 16-го порядка. За [76] (твердження
12.5.1) група K* = , де |d| = 8, |f| = 4, d4 = f2, dЧf = fЧd–1. Очевидно
G = K* О t і група K* має нецентральний комутант. Для цієї групи маємо: expG =
8, expGў = 4, expG3 = 2, [d, f, d] = 1, [d, f, f] = f2, a = 3, g = 2, k = 2.
Розглянемо довільну 2-групу G = G(S) =