Ви є тут

Терморезистивні теплові пожежні сповіщувачі з покращеними характеристиками та методи їх температурних випробувань

Автор: 
Гвоздь Віктор Михайлович
Тип роботи: 
Дис. канд. наук
Рік: 
2005
Артикул:
3405U002110
129 грн
Додати в кошик

Вміст

РАЗДЕЛ 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕРМОРЕЗИСТИВНЫХ ТЕПЛОВЫХ ПОЖАРНЫХ ИЗВЕЩАТЕЛЕЙ И ИХ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
2.1. Модели терморезистивных чувствительных элементов ТПИ в форме сплошного
цилиндра
Тепловые процессы в ЧЭ ТПИ описываются математической моделью следующего вида
[30, 40, 41]:
(2.1)
с начальными и граничными условиями
, , (2.2)
, (2.3)
(2.4)
где a – коэффициент температуропроводности материала ЧЭ ТПИ; R – радиус ЧЭ; –
относительный коэффициент конвективного теплообмена; a – коэффициент
конвективного теплообмена между ЧЭ и окружающей средой; l – коэффициент
теплопроводности материала ЧЭ; T0, T1 – начальное и конечное значение
температуры окружающей среды, причем T0 < T1.
Введем обозначение . Тогда система (2.1)  ё (2.4) может быть переписана
следующим образом
; (2.5)
(2.6)
; (2.7)
(2.8)
где учтено обозначение .
Применим к уравнению (2.5) интегральное преобразование Ханкеля [41, 46, 48], в
результате чего получим
, (2.9)
где – корень трансцендентного уравнения
; (2.10)
– функция Бесселя нулевого порядка.
С учетом рекуррентного соотношения [43]
(2.11)
уравнение (2.10) можно переписать в виде
, (2.12)
где – функция Бесселя первого порядка.
После интегрирования по частям правую часть выражения (2.9) можно записать
следующим образом [68]
(2.13)
которое с учетом (2.7) и (2.10) принимает вид
. (2.14)
Полагая, что
, (2.15)
интегро-дифференциальное уравнение (2.9) трансформируется следующим образом
. (2.16)
При условии (2.6) решением дифференциального уравнения (2.16) является
. (2.17)
Применяя к этому выражению формулу обращения для интегрального преобразования
Ханкеля с конечными пределами [46] получаем выражение для выходного сигнала ЧЭ
ТПИ
. (2.18)
Из (2.6), (2.7) и согласно [15, 50] следует, что выражение (2.18) представляет
собой модель ЧЭ ТПИ во временной области – переходную функцию.
Получим выражение для математической модели в виде передаточной функции (ПФ).
Из (2.7) следует, что входным сигналом ТПИ является сигнал, описываемый
выражением , где – функция Хевисайда [50], причем . Тогда выражение для ПФ ЧЭ
ТПИ будет иметь вид [15, 75]
, (2.19)
где L – оператор интегрального преобразования Лапласа, т.е.
. (2.20)
С учетом (2.18) ё (2.20) выражение для передаточной функции ЧЭ ТПИ окончательно
будет иметь вид
,(2.21)
где ; Tk = – k-я постоянная времени ЧЭ ТПИ; 2hRAk – k-й коэффициент передачи ЧЭ
ТПИ.
Передаточной функции (2.21) будет соответствовать структурно-динамическая схема
(СДС) ЧЭ ТПИ такого типа, приведенная на рис 2.1. Здесь , – входной и выходной
сигналы соответственно, в частности, если , то описывается выражением (2.18).
Рис. 2.1. Структурно-динамическая схема чувствительного элемента ТПИ (сплошной
цилиндр)
Полученные математические модели ЧЭ ТПИ в виде выражений (2.18), (2.21)
являются локальными, т.е. описывают тепловые процессы в произвольной точке
чувствительного элемента.
Определим усредненные по объему динамические характеристики ЧЭ ТПИ. В этом
случае в качестве выходного сигнала будет иметь место усредненная по объему
температура, т.е.
. (2.22)
Тогда, объединяя (2.18) и (2.21), получим выражение для усредненной по объему
переходной функции ЧЭ ТПИ
, (2.23)
где учтено соотношение [48]
. (2.23, а)
Принимая во внимание (2.12), выражение (2.23) трансформируется к виду
. (2.24)
Для усредненной по объему ПР ЧЭ ТПИ будет иметь место следующее выражение
(2.25)
где ; – k-й интегральный коэффициент передачи ЧЭ ТПИ.
Если – критерий Био, то из анализа выражений (2.12), (2.18), (2.21), (2.23) и
(2.25) следует, что параметр mk, а также коэффициенты передачи и постоянные
времени ЧЭ ТПИ зависят от величины критерия Био.
В табл. 2.1 приведены значения для первых четырех корней уравнения (2.12).
Анализ этой таблицы свидетельствует о том, что больше всего чувствителен к
изменению величины критерия Био первый корень m1 этого уравнения.
Таблица 2.1
Значения корней mk уравнения (2.12)
Bi
m1
m2
m3
m4
0,00
0,0000
3,8317
7,0156
10,1736
0,01
0,1412
3,8343
7,0170
10,1745
0,02
0,1995
3,8369
7,0184
10,1754
0,04
0,2814
3,8421
7,0213
10,1774
0,08
0,3960
3,8525
7,0270
10,1813
0,15
0,5376
3,8706
7,0369
10,1881
0,30
0,7465
3,9091
7,0582
10,2029
0,60
1,0184
3,9841
7,1004
10,2322
0,80
1,1490
4,0325
7,1282
10,2519
1,00
1,2558
4,0795
7,1558
10,2710
Оценим влияние величины параметра k, т.е. числа членов ряда в выражениях для
динамических характеристик ЧЭ ТПИ, на точность его математического описания. С
этой целью выражение для погрешности запишем в виде
. (2.26)
В табл. 2.2 приведены значения для этой методической погрешности. Анализ
свидетельствует, что для значений величина методической погрешности при
описании тепловых процессов в ЧЭ ТПИ такого типа с помощью математических
моделей в виде (2.23) и (2.25) не превышает 1,6%.
Таблица 2.2
Значения методической погрешности
Bi
0,01
0,02
0,04
0,08
0,15
0,3
0,6
0,8
1,0
d, %
1,8Ч10-4
7,4Ч10-4
2,9Ч10-3
11,6Ч10-3
4Ч10-2
15,6Ч10-2
0,