РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙНИХ КАНАЛІВ
2.1. Метод визначення максимально можливої пропускної здатності телекомунікаційного каналу з довільною АЧХ при дії сигналу та шуму з нерівномірними енергетичними спектральними густинами
Максимально можливу пропускну здатність неперервного ТК із рівномірною АЧХ у смузі частот при дії у каналі завади у вигляді білого шуму з ЕСП та гаусівським розподілом амплітуд можливо визначити згідно відомої формули Шеннона (1.32). Дану формулу можливо використовувати при визначенні пропускної здатності КТК, оскільки нерівномірність АЧХ такого каналу в смузі робочих частот не перевищує 3 дБ. Проте останнім часом широко розповсюдженими стають ВТК із нерівномірною АЧХ та затуханням 0...55 дБ, у яких для передавання даних використовують широку смугу частот 0...125 МГц. Крім того, шум у КЗ не завжди можна вважати білим. Тому формула (1.32) не може бути безпосередньо використана для обчислення пропускної здатності таких каналів.
Для вирішення цієї проблеми розроблено метод визначення пропускної здатності ТК для більш загального випадку, коли АЧХ ТК є довільною, а шум у каналі не обов'язково білий [74-77].
Нехай КПП реального неперервного ТК описує функція , сигнал генератора на вході ТК характеризується ЕСГ , а шуми в ТК мають ЕСГ . Тоді ЕСГ сигналу на виході ТК дорівнює:
. (2.1)
Згідно [22] із врахуванням (2.1) потужність сигналу на виході ТК
,
а потужність шуму на виході ТК
.
Дані формули спрощуються для достатньо вузької частотної ділянки в околі деякої частоти , в межах якої ЕСГ сигналу та шуму можна вважати сталими. У такому разі потужності сигналу та шуму в межах ділянки дорівнюють:
,
.
Пропускна здатність такої ділянки згідно з формулою (1.32) становить:
.
Позначимо через
(2.2)
і одержимо
.
Тоді максимально можлива пропускна здатність неперервного ТК із шириною смуги пропускання дорівнює сумі пропускних здатностей окремих ділянок з шириною смуги . У загальному випадку така пропускна здатність дорівнює площі фігури, обмеженої графіком функції й відрізками прямих , і .
Розіб'ємо проміжок на довільних частин , ,..., з довжинами , , ...,, а найбільшу з них позначимо символом . Через кожну точку поділу проведемо пряму, паралельно осі ординат. Ці прямі поділять досліджувану фігуру на елементарних частин. Площа -ї елементарної частини дорівнює , де - деяке число із проміжку .
Площа досліджуваної фігури у такому випадку рівна сумі площ елементарних ділянок:
. (2.3)
Оскільки в загальному випадку , то площа відрізняється від площі шуканої фігури, і для підвищення точності обчислень необхідно зменшувати довжину елементарної ділянки: .
У такому випадку площа шуканої фігури, а значить, і максимально можлива пропускна здатність, визначається як границя площі даної фігури при прямуванні до нуля:
. (2.4)
Згідно з працями [78-81] формула (2.3) представляє собою інтегральну суму (у розумінні Рімана) функції , яка відповідає певному розбиттю інтервалу і певному вибору точок , а границя цієї суми (2.4) при дорівнює визначеному інтегралу від функції на проміжку :
.
Таким чином, максимально можливу пропускну здатність реального неперервного ТК можна визначити згідно запропонованого методу, який полягає у теоретичному або експериментальному визначенні ЕСГ сигналу й шуму, КПП каналу і використанні для обчислення формул (2.5)-(2.7):
. (2.5)
Слід зауважити, що повинна задовольняти згідно з теоремою [78] одну з умов інтегрованості на проміжку . Згідно проведених досліджень функція для реальних ТК відповідає вимогам, наведеним вище. Тому така функція є інтегрованою, і формула (2.5) придатна для визначення пропускної здатності неперервних ТК із довільною АЧХ при дії шуму з рівномірною або нерівномірною ЕСГ.
У випадку, коли функція не залежить від частоти, одержимо:
.
При наявності джерела сигналу на вході ТК та зосереджених джерел шуму в каналі з однією ЛЗ довжиною пропускну здатність визначають згідно формули:
, (2.6)
де - ЕСГ -го джерела шуму, розташованого на відстані від кінця ЛЗ.
Якщо джерела шуму характеризуються розподілом ЕСГ вздовж ЛЗ, пропускна здатність рівна
, (2.7)
де - розподіл ЕСГ -го джерела шуму вздовж ЛЗ.
Формула (2.6) придатна для аналізу ТК, до складу яких входять СЛЗ на основі багатопарних кабелів. Формула (2.7) дозволяє оцінити вплив потужних джерел завад (наприклад, радіопередавачів, ліній електропередачі). Визначення пропускної здатності ТК, до складу якого входить декілька ЛЗ, детально розглянуто в п. 2.4.
Метод визначення максимально можливої пропускної здатності ТК із довільною АЧХ у смузі робочих частот при дії шуму з рівномірною або нерівномірною ЕСГ у ній реалізується з використанням формул (2.5)-(2.7). Проте, в загальному випадку визначення пропускної здатності згідно з цим методом можливе лише з допомогою чисельних методів обчислення визначених інтегралів. Крім того, чисельні методи потрібні при обчисленні пропускної здатності з використанням даних, одержаних експериментально при дискретній зміні частоти генератора сигналу з певним кроком. Від того, який чисельний метод використано для обчислення пропускної здатності, залежить точність та швидкість обчислення. Тому доцільно розглянути різні чисельні методи обчислення та здійснити їх порівняння з метою вироблення рекомендацій щодо їх застосування при дослідженні різних ТК.
Метод 1. Згідно методу прямокутників [82-85] діапазон робочих частот ТК розбиваємо на ділянок , у межах кожної з яких АЧХ каналу й шум у каналі можна вважати постійним. У такому випадку пропускну здатність обчислюємо за формулою:
(2.8)
де - ЕСГ сигналу на виході ТК та ЕСГ шуму в каналі на середній частоті ділянки , яку обчислюємо наступним чином:
.
Значення цих величин в інших точках ділянки відрізняються від значення
- Київ+380960830922