РАЗДЕЛ 2
ТРЕХМЕРНОЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ В МАГНЕТРОННОЙ ПУШКЕ С ХОЛОДНЫМ ВТОРИЧНО-ЭМИССИОННЫМ КАТОДОМ
(МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ)
2.1. Разработка трехмерной нестационарной математической модели магнетронной пушки.
2.1.1. Постановка задачи.
На рис. 2.1 представлены схематические изображения магнетронных пушек
а б
Рис. 2.1. Схемы магнетронных пушек с холодным вторично-эмиссионным катодом:
1 - катод;
2 - отражающий электрод (рефлектор);
3 - анод;
4 - коллектор;
5 - соленоид;
6 - модулятор для формирования импульсов катодного напряжения.
с холодным вторично-эмиссионным катодом обычного (а) и обращенного типов (б). Запуск электронного пучка происходит при помощи подачи серии импульсов анодного напряжения c периодом Т, вид которых показан на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Последовательность импульсов анодного напряжения.
Каждый импульс анодного напряжения характеризуется максимальным пиковым значением и напряжением, соответствующим стационарному участку - "полочке импульса" . При этом импульс анодного напряжения делится на временные интервалы, определяемые длительностью фронта , длительностью участка отрицательной крутизны , длительностью стационарной части и длительностью спада , причем суммарная длительность импульса анодного напряжения равна =+++.
Как показывает анализ, за время действия запускающего импульса происходят процессы, стимулирующие генерацию электронного пучка, который оседает на коллекторе. На фронте импульса напряжения накапливаются первичные электроны, которые формируют первичный объёмный заряд. На участке с отрицательной крутизной электроны набирают достаточную энергию, чтобы инициировать эмиссию вторичных электронов, причём именно на этом временном интервале происходит лавинное вторично-эмиссионное размножение электронов и, как следствие, формируется электронный пучок. На стационарном участке анодного импульса, соответствующего постоянному значению анодного напряжения, электронный пучок существует за счёт процесса саморегуляции вторичной электронной эмиссии, обусловленного действием "локальных виртуальных катодов" над поверхностью катода [112, 142-144].
Физические явления, сопровождающие токоотбор с катода, сложны и недостаточно изучены. Современным и наиболее эффективным методом теоретического исследования таких процессов является метод крупных частиц [42]. Данный метод универсален при моделировании сложных нелинейных задач физической электроники и даёт возможность моделировать процессы образования электронных сгустков и виртуально наблюдать явления внутри приборов, количественно определять их дифференциальные и интегральные параметры [112, 134, 135, 138, 139, 143].
Остановимся более подробно на описании математической модели магнетронной пушки. Для упрощения рассматривается квазистатическое приближение, учитывающее, что нестационарный процесс рассматривается как последовательность стационарных процессов, соответствующих временному интервалу . Также в расчётах не учитываются релятивистские эффекты, поскольку дрейфовая скорость электронов значительно меньше скорости света , т.е. .
Предположим, что в момент времени в пространстве магнетронной пушки существует объёмный заряд , а на катод пушки поданы импульсы напряжения, приведенные на рис. 2.2. Необходимо отметить, что применение численного метода решения требует временной дискретизации отдельного импульса анодного напряжения. На рис. 2.3. показано разбиение импульса на малые временные интервалы, равные временному шагу , а значения всех физических величин внутри данного интервала предполагаются постоянными (приближение однородного поля [43]).
Рис. 2.3. Дискретизация импульса напряжения по времени.
Для определения сил, действующих на электроны, необходимо определить суммарное электрическое поле в магнетронной пушке. Для этого на каждом временном интервале решается уравнение Пуассона
(2.1)
с учётом граничных условий
(2.2)
где - функция, характеризующая зависимость потенциала катода от времени; - потенциал анода; - потенциал коллектора.
Для определения траекторий движения частиц под действием сил стационарного магнитного поля и нестационарного электрического поля, с учетом расталкивающего действия поля пространственного заряда, для каждой частицы решается уравнение движения:
(2.3)
где - вектор скорости частицы;
- суммарная напряжённость электрического поля, включая поле пространственного заряда в точке, характеризуемой радиус-вектором в текущий момент времени , с учётом начальных условий (задача Коши):
(2.4)
где - начальный вектор скорости частиц;
- начальный радиус-вектор частиц, находящихся в рабочем пространстве.
Выражения (2.1) и (2.3) представляют собой самосогласованную систему уравнений и составляют основу предлагаемой математической модели магнетронной пушки. Граничные и начальные условия (2.2) и (2.4) позволяют получить однозначное решение самосогласованной системы уравнений (2.1) и (2.3). Более детально остановимся на описании используемых методов численного решения уравнения движения и Пуассона.
2.1.2. Описание метода решения уравнения движения.
Решение уравнения движения (2.3) представляет собой сложную задачу и требует применения численных методов интегрирования дифференциальных уравнений, например, одношаговых: модифицированного метода Эйлера, метода Рунге-Кутта 4-го порядка и т.п. или многошаговых: метода прогноза - коррекции, метода Адамса-Башфорта и т.п. [139]. При выборе метода следует исходить из минимизации временных затрат при сохранении всех остальных критериев [41], например, точности, согласованности, сходимости и т.п. Данное время можно оценить по количеству арифметических операций (операций сложения, вычитания, умножения и деления), которые выполняются процессором ЭВМ в ходе расчетов.