РОЗДІЛ 2
МЕТОДИ РЕГУЛЯРИЗАЦІЇ
2. 1. Некоректність задач числового математичного моделювання
Загальну постановку задачі числового макромоделювання розглянуто в пункті 1. 2 першого розділу.
При ідентифікації математичних моделей довільних динамічних об'єктів із використанням числових методів з'являється проблема, що пов'язана із некоректністю таких задач. На початку XX ст. Адамаром сформульовано вимоги до коректності постановки математичної задачі:
1) розв'язок існує для довільних початкових умов;
2) розв'язок єдиний;
3) розв'язок неперервно залежить від початкових даних.
Остання умова означає, що малим змінам початкових умов відповідають малі зміни розв'язку (розв'язок задачі стійкий).
Як приклад можна навести задачу Коші:
(2.1)
Розв'язок цієї задачі задовольняє усі три вимоги коректності за Адамаром.
У випадку некоректних задач умови коректності не задовольняються, проте такі задачі доволі часто постають перед дослідниками. Наприклад [12], повертаючись додому після роботи, людина обирає певний маршрут, хоча таких можливостей у неї декілька. Для вибору певного розв'язку вона використовує додаткову інформацію (обирає розв'язок, що задовольняє певним критеріям оптимальності). Отож вона обирає маршрут, що дає змогу їй або найшвидше добратись додому, або проїхати із мінімальною кількістю пересадок тощо. Такі математичні задачі зводяться до відшукання мінімуму (максимуму) функції багатьох змінних за умови, що точка екстремуму із координатами належить області допустимих значень . Розв'язуючи таку задачу із допомогою ЕОМ, ми вносимо невеликі похибки на кожному етапі розв'язку задачі. Бажано, щоб задача була нечутливою до малих збурень вихідної інформації.
Нехай потрібно знайти максимальне значення функції , коли область допустимих значень задається в просторі змінних системою лінійних нерівностей:
Нехай область - відрізок, що з'єднує точки (0, 0) та (1, 1)
Зрозуміло, що максимальне значення функції буде 2 у точці (1, 1). Припустімо, що коефіцієнти обчислюються на ЕОМ, отож існує деяка похибка обчислень . Нехай і з збуреннями задається умовами:
Неважко переконатись, що тепер множина допустимих значень складається із єдиної точки (0, 0) площини , тому розв'язок задачі для будь-якого малого додатного становитиме 0, а не прямуватиме до 2 при !
Цей приклад характерний для широкого кола задач - малі зміни вхідної інформації спричинюють суттєві зміни розв'язку.
З метою подолання проблеми некоректності уже розроблено і сьогодні розробляються спеціальні регуляризаційні методи (прийоми), що дають змогу замінити некоректну задачу коректною, розв'язок якої є близьким до ідеального.
2. 2. Регуляризуючий функціонал Тіхонова
Для систем із зосередженими параметрами задачу ідентифікації зведено до апроксимації лінійної динамічної системи та нелінійної вектор-функції завдяки загальним моделюючим структурам і методам їхньої ідентифікації, що описано в першому розділі. Апроксимація лінійної підсистеми із використанням малосигнального аналізу здебільшого не зумовлює ускладнень на відміну від апроксимації нелінійної вектор-функції, що є доволі складним завданням.
Наведемо загальне формулювання задачі апроксимації [9].
Нехай - апроксимаційна вектор-функція, - вектор аргументів цієї функції, - деякий параметр (у наших задачах - час). Також нехай - вектор значень функції , що залежить від параметра . Тоді для кожного -го значення параметра справджується рівність:
(2.2)
де і складові векторів та .
За апроксимації у лінійному просторі дійсних базисних функцій розмірності отримуємо систему лінійних алгебричних рівнянь щодо коефіцієнтів апроксимації :
. (2.3)
Дуже важливим є вибір апроксимаційного базису - функцій . Здебільшого використовують багатовимірні степеневі поліноми:
(2.4)
Підставою для цього є теорема Стоуна-Веєрштрасса [38], яка гарантує можливість досягнення будь-якої точності апроксимації за умови підвищення степеня багатовимірного степеневого полінома (2.4). Однак на практиці безпосередній розв'язок задачі (2.3) із використанням апроксимації (2.4) за доволі великих значень виявляється незадовільним. Причиною такої ситуації є некоректність у сенсі Адамара [47]: малі зміни вихідних даних задачі апроксимації - векторів і зумовлюють до значних змін коефіцієнтів . І навпаки, малі зміни коефіцієнтів спричинюють значні порушення умов (2.3).
При розв'язанні некоректних задач спостерігається чимале зростання модуля коефіцієнтів із внесенням незначних похибок (збурень) у вектори і . Тіхоновим та його школою запропоновано ввести обмеження на зростання абсолютних значень коефіцієнтів . Їх визначають шляхом мінімізації функціонала Тіхонова
, (2.5)
де вектор в загальному випадку залежить і від похибки у значеннях і . Перший член функціоналу (2.5) забезпечує найкращу точність розв'язку системи лінійних рівнянь (2.3) в обраній метриці, другий - регуляризуючий - мінімальну норму вектора . В результаті використання функціоналу (2.5) забезпечує регуляризацію розв'язку СЛАР.
При використанні евклідової метрики простору апроксимації функціонал Тіхонова набуває вигляду:
(2.6)
Для відомих значень похибок школою Тіхонова розроблено алгоритми для визначення оптимального значення [44]. Однак на практиці, зазвичай, похибка вихідних даних невідома. У такій ситуації параметр підбирають емпірично, спостерігаючи за коректністю розв'язку СЛАР.
Перехід до регуляризованої задачі (2.6) здійснють шляхом доповнення системи (2.3) рівняннями:
. (2.7)
Подальшим розвитком регуляризації за Тіхоновим була моде