РАЗДЕЛ 2. АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РЕАЛИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛЬНОГО МЕТОДА ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
В данном разделе рассматриваются вопросы разработки численных алгоритмов идентификации динамических объектов, помехоустойчивых относительно погрешности значений измеряемых сигналов, а также допускающих эффективную организацию вычислительных процессов при создании средств компьютерного моделирования [13, 21, 22, 96, 106, 113, 123], в том числе аппаратную реализацию [13, 21, 22, 96, 106, 113, 123]. Рассматриваются вопросы построения дискретизованных моделей на основе некоторых аппроксимационных методов. Комплексно исследуются на точность предложенные алгоритмы с учетом погрешности исходных данных [27, 45].
2.1. Интегральный метод идентификации динамических объектов и квадратурные алгоритмы его реализации
Рассмотрим, не ограничивая общности, вопрос построения на основе квадратурных формул вычислительных алгоритмов определения параметров линейных интегральных динамических моделей вида (1.9), описывающих нестационарные ДО с сосредоточенными параметрами [34, 50, 58, 78]. Для такого класса ДО модель (1.8) примет вид
, (2.1)
где подлежащие определению параметры, и - соответственно выходной и входной сигналы, переменные, в общем случае, неизвестные области интегрирования. В дальнейшем для простоты изложения будем полагать, что
Простой алгоритм для вычисления неизвестных параметров в (2.1) можно получить, применяя для вычисления интегралов в (2.1) квадратурные формулы вида [4, 7, 10, 26, 28]
(2.2)
где - веса, - узлы вида (1.4), - остаточный член квадратурной формулы.
Суть квадратурного алгоритма расчета параметров модели (2.1) состоит в том, что расчетные выражения в нем формируются на основе дискретизации интегралов при помощи квадратурных формул вида (2.1) с отбрасыванием соответствующих остаточных членов. Дискретизируя таким образом модель (2.1) в точках вида (1.4), получаем следующую систему из -го линейного алгебраического уравнения относительно неизвестных параметров:
(2.3)
При отсутствии какой-нибудь дополнительной информации о неизвестных параметрах в системе (2.3) будет, вообще говоря, неизвестных, т.е. в этом случае возникают известные трудности решения недоопределенной СЛАУ. Избежать этого можно, например, предположив, что неизвестные параметры в (2.1) имеют полиномиальный вид, т.е.
(2.4)
(2.5)
(2.6)
где - неизвестные постоянные коэффициенты, а - некоторые системы линейно независимых функций, .
Очевидно, что, если
(2.7)
то число уравнений в (2.3) будет равно числу неизвестных. Конечно, при этом остаются открытыми, в общем случае, вопросы выбора функций , , , ; вопросы существования и единственности решения СЛАУ (2.3), а также вопрос о влиянии погрешностей и в (1.5) и в (1.6) на точность расчета неизвестных параметров. Эти вопросы в определенной степени могут быть решены в частном, но достаточно важном случае, когда искомые параметры и определяются следующими соотношениями:
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
где - неизвестные, а - известные постоянные величины.
Нетрудно заметить, что уравнение (2.1) при выбранных значениях параметров будет эквивалентно дифференциальному уравнению вида
Для формирования системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов преобразуем уравнение (2.3) с учетом (2.4)-(2.11) к виду
(2.12)
Отсюда для точек фиксации (измерения) вида (1.4), полагая, что получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов
, (2.13)
где
(2.14)
. (2.15)
Применим теперь для вычисления интегралов в (2.14) и (2.15) квадратурные формулы вида (2.2), которые для произвольной интегрируемой по Риману функции , примут вид
(2.16)
где - остаточные члены этой формулы, а другие величины определены в (2.2).
Отбрасывая остаточные члены квадратурных формул, соответственно и и, учитывая тот факт, что согласно (1.5) и (1.6) значения входного и выходного сигналов заданы экспериментально с некоторыми погрешностями, от системы уравнения (2.13) приходим к следующей системе уравнений относительно приближенных значений компонент вектора
(2.17)
где
(2.18)
(2.19)
. (2.20)
Таким образом, мы получили окончательную систему для расчета параметров . Блок-схема квадратурного алгоритма приведена на рис.2.1.
Рис.2.1. Блок-схема квадратурного алгоритма.
Анализ операций , входящих в данный алгоритм, позволяет предположить, что при расчете параметров динамических моделей вида (2.1) он обладает высоким быстродействием и устойчивостью. Кроме того, в силу своей простоты он позволяет синтезировать высокопроизводительные вычислительные устройства.
Чтобы убедиться в работоспособности метода, рассмотрим некоторые примеры решения ряда тестовых задач.
Пример 1.
Входной сигнал: , , .
Выходной сигнал: .
Начальные условия: .
Задача: определить коэффициенты эквивалентного дифференциального уравнения
(2.20)?
Точное решение: .
Используя выражения (2.17)-(2.19) и квадратурную формулу трапеций для аппроксимации интегралов, входящих в выражения (2.18), (2.19), получаем СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов , причем данная система является несовместной. Применяя для ее решения метод наименьших квадратов получаем следующие значения искомых коэффициентов
.
a) b)
Рис. 2.2. Решение уравнения (2.20)?
На рис. 2.2 представлено решение уравнения (2.20)? соответственно при точных значениях коэффициентов (а) и при коэффициентах полученных в результате расчета (b). Среднеквадратичная ошибка .
Добавим к выходному сигналу случайную пом