РОЗДІЛ 2.
НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН ПЕРЕРІЗУ РОЗТЯГНУТО-ЗІГНУТОГО ЕЛЕМЕНТУ В ПРУЖНО-ПЛАСТИЧНІЙ СТАДІЇ
В розділі викладено основні підходи до визначення внутрішніх зусиль, що діють в перерізі розтягнуто-зігнутого сталевого елементу із врахуванням фізичної нелінійності матеріалу при будь-якому розвитку пластичних деформацій. Також в розділі наведені результати виконаних чисельних досліджень щодо визначення та аналізу залежностей між внутрішніми силовими факторами для різних перерізів РЗСЕ та діаграм роботи матеріалу.
2.1. Допущення, передумови та загальні положення
У даній роботі використовуються наступні передумови і допущення.
1) Гіпотеза плоских перерізів, з якої витікає, що поздовжні деформації волокон по висоті перерізу підкоряються лінійному закону:
?? = ? N + ? M = ? N + k h, (2.1) де: ?N - відносне подовження волокна перерізу, що розташоване в центрі ваги, або викликане дією тільки поздовжньої сили N; ?M - відносна деформація елемента від дії згинаючого моменту М; k - кривина елементу в даному перерізі; h - координата, що характеризує положення волокон по висоті переріза відносно вісі, що проходить через центр ваги перерізу.
2) Нормальні напруження ? є функцією відносного подовження ?:
? = f (? ).
3) Вплив дотичних напружень ? на умову текучості не враховується.
4) Вигин елемента приймається плоским. Всі сили, прикладені до елемента, лежать у площині, що збігається з віссю симетрії перерізу.
5) Навантаження приймається простим чи близьким до простого (тобто всі зовнішні сили зростають пропорційно загальному параметру [3] ).
Прийняті припущення широко застосовуються при розрахунках пружно-пластичних стержнів і добре підтверджуються експериментальними дослідженнями для стержнів, що мають відношення висоти до прольоту менше 1/5. Оскільки для ниток кінцевої жорсткості це відношення набагато менше, то ці припущення цілком можуть бути застосовані і до них.
Також з прийнятих припущень випливає, що залежність між інтенсивністю напружень і інтенсивністю деформацій для кожної точки елементу співпадає з залежністю ??? при простому розтягу-стиску.
У роботі прийняте табличне представлення діаграми роботи матеріалу. При такому підході, як відзначено в [9], залежність ?(?) будь-якого виду і характеру цілком характеризується кінцевим числом вузлових точок, у яких відомі відповідні один одному пари значень ? і ? . Кількість вузлових точок варто вибирати таким чином, щоб на ділянках між ними можна було застосовувати лінійну інтерполяцію - найбільш зручний і простий спосіб апроксимації. При цьому частота розбиття залежить від характеру обрису ?(?), а кількість вузлових точок може бути досить великою.
Рис. 2.1. Діаграма ? (? ).
- деформація початку текучості; - деформація початку зміцнення;
- деформація межі міцності; 1, 2, ... і, і+1 - вузлові точки діаграми;
Пропонований метод представлення діаграми ?(?) дуже простий у порівнянні з традиційно застосовуваними аналітичними апроксимаціями і має наступні очевидні переваги:
* передбачає єдину методику розрахунку конструкцій з різних матеріалів, в тому числі і у випадку, коли матеріал по-різному працює на стиск і розтяг;
* дозволяє більш точно враховувати в розрахунках специфічні особливості обрису діаграм роботи;
* гарантує високу точність обчислень, цілком відповідну результатам експериментальних досліджень механічних властивостей матеріалів;
* дозволяє використовувати всі розробки, алгоритми і програми для розрахунку конструкцій з нових, ще невідомих матеріалів, що будуть застосовуватися в практиці;
* припускає використання чисельних методів рішення, що відповідають специфіці обчислювальних машин;
* виключає різні методи апроксимації діаграм роботи й оцінки точності аналітичних формул.
Усі розрахункові формули приводимо до вигляду, що містить безрозмірні параметри. Це дозволить у подальшому не залежати від абсолютних розмірів перерізу, а характеризувати лише його форму і співвідношення основних розмірів, а також використовувати отримані результати для інших подібних рішень. Уведемо безрозмірні параметри деформацій, напруження, січного модуля, кривини та зусиль:
; ; ;
; ; .(2.2)
Граничні величини внутрішніх зусиль приймаємо з наступних міркувань:
* критерієм руйнування вважаємо досягнення напруженнями величини ?u у нижній (найбільш навантаженій) фібрі перерізу;
* поздовжня сила N lim =? u A визначається при ? =? u і ? M= 0;
* кривина k lim = 2? u / h, при ? N=0 і ? ?=? u ;
* згинальний момент M lim визначаємо з умови ? N=0 і k=k lim .
2.2. Методика визначення внутрішніх зусиль в перерізі розтягнуто-зігнутого елемента
2.2.1. Виведення основних формул визначення внутрішніх зусиль
Задача зводиться до наступного: у якомусь n-ому перерізі елемента конструкції по заданій зовнішній поздовжній силі Next і кривині центральної осі елемента k необхідно знайти внутрішній згинальний момент М і відносне подовження центрального волокна ?N .
У пружній стадії, коли залежність ?(?) лінійна, рішення однозначне:
,
де А та J - відповідно площа та момент інерції переріза елемента;
E - модуль пружності (модуль Юнга).
У випадку нелінійної залежності ?(?) одержати рішення в аналітичному вигляді не вдається, необхідне використання чисельного аналізу.
Розглянемо задачу визначення внутрішнього моменту Мi по заданим N, k та ?N , яке відоме на даній ітерації. У загальному вигляді
, .(2.3) Формули (2.3) можна перетворити, змінивши перемінну інтегрування
; ,(2.4) де b та h - ширина та висота перерізу.
Рис. 2.2. Епюри відносних деформацій у перерізі елемента.
Нелінійну залежність ?(?), заміняємо дискретною множиною точок. Ці точки можна одержати безпосередньо з результатів випробування зразків стали, тобто діаграма роботи стали задається таблично.
Ри