РАЗДЕЛ 2
СТРУКТУРНО-АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИМ ОБЪЕКТОМ.
2.1. Приведение дифференциальных уравнений нелинейных систем к виду, удобному для синтеза
Существенным недостатком рассмотренных выше методов решения задачи АКР является ограниченная область применения, которая распространяется на случай линейных или линеаризованных объектов. Однако достаточно большой класс динамических объектов относится к существенно нелинейным, линеаризация которых приводит к пренебрежению уникальными свойствами последних. В связи с этим возникает необходимость расширения области применения известных методов синтеза оптимальных управлений на класс существенно нелинейных динамических объектов.
Вследствие того, что линеаризация нелинейности разложением в ряд Тейлора или аппроксимация нелинейности полиномом не обеспечивает достоверную информацию о характере движения объекта управления, эти методы рассматриваться в дальнейшем не будут.
В свою очередь, несмотря на присущие методу гармонической линеаризации недостатки, идея представления нелинейной функции в виде произведения ее аргументов на некоторые переменные коэффициенты:
(2.1)
заслуживает пристального внимания.
Запишем уравнение (1.7) с учетом (2.1) в развернутом виде
(2.2)
Очевидно, что несмотря на различия в форме записи, (1.7) и (2.2) описывают движение одного и того же динамического объекта.
Умножив и разделив правую часть системы (1.7) на сумму управляющих воздействий и переменных состояния объекта, получим
(2.3)
Если нелинейная функция имеет строгое математическое описание, то коэффициенты bij, mj могут быть найдены согласно следующим зависимостям
. (2.4)
В случае, если функция не имеет строгого математического описания, или оно достаточно сложно, ее можно заменить согласно системе (1.7) производной от соответствующей перемененной состояния.
Тогда (2.3) примет вид:
, (2.5)
а коэффициенты (2.4) будут определяться следующей зависимостью:
. (2.6)
Сравнив выражения (2.3) и (2.5), можно сделать вывод, что (2.5) является более общим и включает в себя (2.3).
Для класса динамических объектов, имеющих несколько нулевых корней характеристического уравнения или одинаковые функции в разных уравнения, описывающих динамику объекта, в силу (2.3) может возникнуть случай, когда
. (2.7)
При этом методы синтеза оптимального управления, использующие матричное исчисление, оказываются неприменимы. Поэтому для исключения сингулярности матрицы коэффициентов В в (2.3) и (2.5) следует вводить не просто суммы всех переменных состояния и управляющего воздействия, а их некоторые линейные комбинации, изменяющиеся от уравнения к уравнению. Т.е. применение коэффициентов (2.5) ограничивается случаем, когда в уравнения динамики объекта входит одна нелинейная функция [127,130].
С учетом сказанного выше, коэффициенты (2.5) можно представить следующим образом
, (2.8)
Для матриц С1 и С2 должны соблюдаться условия:
. (2.9)
В простейшем случае, когда на объект управления действует одно управляющее воздействие, прикладываемое к самой внутренней переменой состояния, матрицы С1 и С2 могут быть записаны в виде:
, . (2.10)
Таким образом, в результате выполнения преобразований (2.10)-(2.8) система нелинейных дифференциальных уравнений (2.1) приведена к тождественной системе (2.9) с переменными коэффициентами (2.8).
Очевидно, что предложенный выше способ представления нелинейной функции облегчает процедуру синтеза системы управления нелинейным объектом. Однако исследование, как самого объекта, так и синтезированной структуры является проблематичным вследствие наличия большого числа переменных коэффициентов [134].
Преобразуем систему (2.9) так, чтобы в каждом из уравнений динамики был только один переменный коэффициент. Т.е. будем искать дифференциальные уравнения, описывающие динамику объекта управления в виде
. (2.11)
Запишем систему (2.9) в развернутом виде
. (2.12)
Прибавив и вычтя из (2.12) выражение ,
где аji и произвольные, отличные от нуля коэффициенты, получим
(2.13)
Разделив и умножив выражение в скобках на ?j , приведем (2.13) к виду
(2.14)
Введем следующее обозначение
(2.15)
Очевидно, что с учетом (2.15) система (2.14) принимает вид (2.11).
Таким образом, в результате несложных математических преобразований система (2.1) может быть приведена к системам вида (2.9) и (2.11). В отличии от нелинейной системы дифференциальных уравнений (2.1), полученные системы являются системами с переменными коэффициентами, причем последние однозначно выражаются через переменные состояния объекта управления и не накладывают никаких ограничений на вид нелинейной функции. Поэтому к системам (2.9) и (2.11) могут быть сведены любые уравнения, описывающие динамику объекта управления как обычными линейными, линеаризованными или нелинейными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных.
2.2. Синтез оптимального управления для нелинейного объекта с одной нелинейностью и одним нулевым корнем характеристического уравнения.
Пусть динамика нелинейного объекта третьего порядка описывается следующей системой уравнений.
(2.16)
Здесь и далее будем считать, что функция f(?i,U,t) нечетная, т.е
. (2.17)
Представим систему (2.16) в виде (2.9)
(2.18)
где коэффициенты bij определяются согласно (2.8) зависимостями
. (2.19)
Для доказательства приведенных рассуждений синтезируем для объекта (2.16) управляющее воздействие, минимизирующее функционал качества
. (2.20)
Для этого представим (2.18) в форме Фробениуса
(2.21)
где коэффициенты аi определяются зависимостями
(2.22)
Согласно [1] коэффициенты (2.22) характеристического уравнения объекта являются коэффициент