РОЗДІЛ 2
ПОБУДОВА АСИМПТОТИКИ РОЗВ’ЯЗКУ ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧІ У ВИПАДКУ ПРОСТОГО СПЕКТРА
ГРАНИЧНОЇ В’ЯЗКИ МАТРИЦЬ
2.1. Постановка задачі
Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь
(2.1)
x(0,e) = x0, (2.2)
в якій x(t,e) - шуканий n-вимірний вектор, t О [0;T], e О(0;e0] - малий дійсний
параметр, h О N, B(t), A(t,e) - (n x n) - матриці, f(t,e) – n-вимірний вектор,
елементами яких є дійсні або комплекснозначні функції, det B(t)є0 на [0,T].
Будемо передбачати, що виконуються такі умови:
1) матриця A(t,e) і вектор f (t,e) допускають рівномірні асимптотичні
розвинення на даному відрізку [0,T]:
(2.3)
2) матриці Ak(t), (k=0,1,...), B(t) та вектор-функції fk(t), (k = 0, 1,...)
нескінченно диференційовні на [0;T].
3) в’язка граничних матриць регулярна на [0;T] і має n-1 простих скінченних
елементарних дільників , та один простий нескінченний елементарний дільник.
Не зменшуючи загальності, будемо вважати, що в’язка матриць має канонічний
вигляд [90]. При цьому згідно з умовою 3)
B = diag {0,1,1,…,1}, .
В противному випадку цього завжди можна досягти, помноживши систему (2.1) зліва
на неособливу матрицю P(t) і здійснивши заміну x = Q(t) y, де P(t) і Q(t) –
перетворюючі матриці [90].
За цих умов будемо досліджувати питання про побудову асимптотичного розв’язку
задачі Коші (2.1), (2.2) у вигляді розвинень за степенями малого параметра.
Виродженість матриці B(t) при похідній вносить серйозні труднощі в розв’язання
цієї задачі, оскільки робить неможливим зведення розглядуваної системи
диференціальних рівнянь до нормальної форми.
Завдяки лінійності системи (2.1) її загальний розв’язок може бути представлений
у вигляді суми загального розв’язку відповідної однорідної системи
(2.4)
і частинного розв’язку неоднорідної системи.
Вирішення питання про побудову асимптотичних розв’язків систем (2.1), (2.4)
залежить від поведінки коренів рівняння
det [A0(t) – l B]=0, (2.5)
яке будемо називати характеристичним, а самі корені рівняння – власними
значеннями в’язки, і структури скінченних і нескінченних елементарних дільників
[17] в’язки матриць
L (t,l) = A0(t) – l B. (2.6)
У даній роботі будемо вважати, що при всіх tО[0;T] зберігається Кронекерова
структура даної в’язки, тобто кратності всіх власних значень в’язки (коренів
рівняння (2.5)) і відповідних скінченних і нескінченних елементарних дільників
є сталими на даному відрізку. Крім того, при побудові розв’язку задачі (2.1),
(2.2) розрізнятимемо два суттєво відмінні випадки: некритичний, коли серед
власних значень в’язки (2.6) немає нульового власного значення, і критичний,
коли серед власних значень в’язки (2.6) є нульове.
2.2. Існування і єдиність розв’язку задачі Коші для виродженої сингулярно
збуреної лінійної системи
Розглянемо систему рівнянь
(2.7)
де A(t), B(t) – дійсні або комплекснозначні квадратні матриці n-го порядку,
f(t) – n-вимірний вектор, det B(t) є 0 " tО[0; T]. Як відомо [112], загальний
розв’язок системи (2.7) має найбільш просту структуру (а саме, розв’язок типу
Коші) в тому випадку, коли вона зводиться до центральної канонічної форми.
Означення 2.1. [112] Центральною канонічною формою системи (2.7) називається
система вигляду
(2.8)
де En-s, Es – одиничні матриці порядку n-s i s відповідно, N(t) –
верхньотрикутна матриця з нульовими квадратними блоками на діагоналі.
Наведемо деякі результати, що стосуються зведення системи (2.7) до центральної
канонічної форми.
Означення 2.2. Будемо говорити, що матриця B(t) має на відрізку [а; b] жорданів
ланцюжок векторів завдовжки s відносно оператора якщо існують ненульові вектори
j1(t), ... , js(t)ОUn, які при всіх tО[a; b] задовольняють співвідношення
а рівняння
не має розв’язку в жодній точці відрізка [a, b].
Якщо матриця B(t) має кілька жорданових ланцюжків відносно оператора L(t), то
вектори, які їх утворюють, називаються жордановим набором матриці B(t) відносно
оператора L(t).
Нехай жорданів набір матриці B(t) відносно оператора L(t) складається з
векторів , які утворюють r ланцюжків завдовжки si (). Згідно з означенням 2.2
ці вектори при всіх tО[a; b] задовольняють співвідношення
(2.9)
(2.10)
Позначимо , власні вектори матриці B*(t), спряженої з B(t), які відповідають її
нульовому власному значенню. Тоді завдяки сумісності рівнянь (2.10) виконуються
рівності
(2.11)
а r-вимірні вектори, елементами яких є скалярні добутки , , (з фіксованим i) не
дорівнюють нулю в жодній точці відрізка [a; b]. Якщо при цьому
(2.12)
то даний жорданів набір векторів називається повним [55].
Поряд з оператором L(t) розглянемо формально спряжений з ним оператор
який діє в тому ж просторі Un і відповідає системі, спряженій з (2.7).
Лема 2.1. [55] Нехай rang B(t) = n – r, матриця B(t) має на відрізку [a, b]
повний жорданів набір векторів відносно оператора L(t), що складається з r
жорданових ланцюжків завдовжки si () i A(t), B(t)ОCm-1[a; b], де . Тоді матриця
B*(t) має на відрізку [a; b] повний жорданів набір векторів відносно оператора
L*(t), що складається з жорданових ланцюжків такої ж довжини.
Теорема 2.1. (Самойленка А.М., Яковця В.П.) Нехай A(t), B(t)О C2m[a; b], rang
B(t) = n – r і матриця B(t) має на відрізку [a; b] повний жорданів набір
векторів відносно оператора L(t), який складається з r ланцюжків завдовжки s1,
s2, ..., sr, де . Тоді існують неособливі при всіх tО[a; b] (n x n) – матриці
P(t), Q(t)ОC1[a; b] такі, що множенням на P(t) і заміною x=Q(t)y система (2.7)
зводиться до центральної канонічної форми
(2.13)
де s = s1 +...+ sr, I = diag{I1,..., Ir}, Ij – нільпотентні блоки Жордана
порядку sj () .
Доведення
- Київ+380960830922