РОЗДІЛ 2
ФОРМОУТВОРЕННЯ ТА АНАЛІЗ 1-БАГАТОВИДІВ ПРОСТОРУ К4
В розділі наводяться результати порівняльних досліджень подання графічних
систем n-вимірних евклідового і комплексного просторів однакової розмірності та
особливості реалізації 1-багатовидів таких просторів як основних елементів
побудови гіперповерхонь та багатовидів просторів вищих розмірностей.
2.1. Конструювання графічної моделі комплексного простору
У практиці розв’язання багатопараметричних задач n-вимірного евклідового
простору поширені графічні моделі, які насамперед являють узагальнення
комплексного епюру Монжа. Як базову, крім ортогональної, можна застосовувати
розширену афінну систему координат [52].
Розглянемо формування проекцій деякої точки А простих функціональних
залежностей для змінних x, y, u, v для евклідового Е4
(2.1)
та комплексного К4 простору
(2.2)
де і2=-1 уявна одиниця.
Приймемо за базову геометричну модель комплексного числа z=x+iy в ортогональній
системі координат і, узагальнивши її, одержимо чотиривимірні ортогональні
системи координат евклідового і комплексного простору (рис. 2.1 а, б).
Рис. 2.1. Системи координат евклідового і комплексного простору
Вимірами n-вимірного евклідового простору слугують дійсні числа. Проекції
довільної точки А простору одержуємо, зокрема, на чотири тривимірні координатні
підпростори oxuv, oxuy, oxyv, ouvy, шість двовимірні координатні підпростори
oxu, oxv, oxy, oyu, oyv, ouv. У комплексному просторі положення довільної точки
А визначається її проекціями Az і Aщ у двовимірних комплексних площинах oxiy та
ouiv. Площина двовимірного прямокутника радіус-векторів обидвох точок
перпендикулярна одразу до зазначених двовимірних комплексних площин. Одночасно
кожна з проекцій Az і Aщ являє точку – комплексне число – у своїй двовимірній
площині відповідно oxiy та ouiv. Положення точки однозначно задає пара
складових (дійсна та уявна частина) комплексного числа. З урахуванням цих
складових положення точки можна визначити за допомогою координатної ломаної
OAxAzAzvA чи OAvAщAщxA.
Комплексне креслення n-вимірних евклідового чи комплексного простору одержують
обертанням координатних підпросторів навколо координатних підпросторів нижчої
розмірності [44-46]. Такий спосіб дає змогу формувати комплексні креслення з
усіма двовимірними координатними площинами.
Для розв’язування задач, проте, достатньо використовувати n-1 двовимірних
площин, або ті з них, за осі для яких правлять усі змінні параметри
досліджуваної пожежобезпечної системи.
На відміну від простору Е4 усі чотири координатні тривимірні підпростори
простору К4 комплексні (рис. 2.2).
Рис. 2.2. Проекції точки на тривимірні комплексні координатні підпростори
Для одержання частинних залежностей евклідового простору як складового
комплексного простору за головну приймемо двовимірну площину oxu, навколо осей
якої будемо обертати решту п’ять площин, провівши „розріз” вздовж осі oiy.
Рис. 2.3. Епюр комплексного простору
Одержаний епюр дозволяє будувати усі шість проекцій точки А комплексного
простору (рис. 2.3, а). У такому епюрі має місце накладання двох площин
проекцій – відповідно oxiy та oxiv і ouiv та ouiy. Для формування епюра
комплексного простору з мінімальною але достатньою кількістю проекцій потрібно
щоб осі містили усі координати точки (рис. 2.3, б). Тоді положення точки А в
комплексному просторі однозначно задають три (рис. 2.4, а) або дві проекції
(рис. 2.4, б).
Порівнюючи обидва епюри, маємо, що епюр з двома координатними площинами oxiy та
ouiv дозволяє однозначно визначити положення точки в просторі при найменшій
кількості площин проекцій.
Рис. 2.4. Епюр комплексного простору з мінімальною кількістю проекцій
У цьому випадку два поля епюра залишаються вільними. Заповнити їх можна,
узагальнивши епюр для дослідження багатовидів комплексних просторів вищих
розмірностей [74,83].
Епюр на рис. 2.4, б приведений для випадку двох комплексних змінних щ=u+iv та
z=x+iy, пов’язаних залежністю (2.2).
Приймемо залежність трьох комплексних змінних щ, z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 у
вигляді:
(2.3)
Кожну точку такої залежності можна подати на епюрі, використавши одне вільне
поле (рис. 2.5, а). Друге вільне поле епюра (рис. 2.5, б) заповнимо, прийнявши
залежність чотирьох комплексних змінних щ1, z1, z2, z3=x3+iy3 у вигляді:
(2.4)
Рис. 2.5. Епюри функцій двох і трьох комплексних змінних
Проаналізуємо можливості одержаних епюрів. При формуванні каркасу багатовиду на
епюрі рис. 2.4, а необхідно мати одновимірні лінії каркасу цього багатовиду.
Графіки ліній відображають комплексні функції дійсної змінної. Їх одержимо
перетином багатовиду, наприклад, гіперплощиною рівня y=y0, паралельною
координатному комплексному підпросторові oxuiv:
(2.5)
Залежність u=u(x,y0) як частинний графік складової комплексної функції дійсної
змінної щ=щ(х) реалізується у координатній площині oxu.
Для одержання достатньої кількості проекцій необхідно відобразити другу
складову v=v(x,y0) комплексної функції дійсної змінної.
Через те, що на епюрі відсутня координатна площина oxiv, використаємо епюр, в
якому площини oxu?oxiv (рис. 2.6, а). Цей епюр одержимо обертанням площини ouiv
до її суміщення з площиною oxu.
Рис. 2.6. Епюр комплексного простору з суміщеними і рознесеними площинами
проекцій
При значній кількості побудов одержаний епюр можна представити з рознесеними
площинами проекцій (рис. 2.6, б).
При відомій залежності комплексної функції дійсної змінної третю проекцію
u=u(v) на епюрі рис. 2.4, а можна одержати, виключивши в (2.5) дійсну складову
комплексного числа. З аналізу рис. 2.4 видно, що дві проекції x=x(y) т
- Київ+380960830922