ГЛАВА 2
НОВАЯ ВЕРСИЯ ЯЧЕЕЧНОГО ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ
СДВИГОВОЙ ВЯЗКОСТИ
2.1. Построение ячеечной модели
Метод построения средней вязкости, основанный на исследовании вращательного движения выделенной частицы внутри сферической ячейки, предложен в работе [11]. В соответствии с [11] предполагается, что вязкость системы внутри и вне ячейки моделируется следующим образом (см. Рис. 2.1)
(2.1)
где - вязкость растворителя, - средняя вязкость суспензии, - радиус частицы, -радиус ячейки.
Рис.2.1 Модель ячейки.
Отметим, что при изучении диэлектрической проницаемости взвеси сферических частиц в [84] также используется ячеечный подход, подобный предложенному выше. В [84] локальные значения диэлектрической проницаемости описываются выражением
в котором и - диэлектрические проницаемости материала частиц и растворителя соответственно, - среднее значение для взвеси. В [85] показано, что этот подход оказывается полностью эквивалентным приближению среднего поля [86].
Предполагается, что выделенная частица вращается с постоянной угловой скоростью . Как было показано в [11] поле скоростей внутри и вне ячейки имеет структуру:
(2.2)
(2.3)
где , .
2.2. Определение среднего и эффективного значений сдвиговой вязкости
Прямой расчет показывает, что результирующий момент сил , приложенный к поверхности частицы, равен
(2.4)
Эффективная сдвиговая вязкость взвеси определяется соотношением
из сравнения которого с (2.4) следует:
(2.5)
Для определения и непосредственно связанной с ним средней вязкости суспензии, воспользуемся уравнение энергетического баланса
(2.6)
в котором и описывают диссипацию энергии в расчете на одну частицу. Величина определяется стандартным выражением
(2.7)
в котором - объем ячейки и
тензор градиентов поля скоростей (см. формулу (2.2)) внутри нее. Напоминаем, что здесь мы ограничиваемся рассмотрением несжимаемой жидкости.
Величина равняется энергии, диссипируемой полем скоростей , которое получено из
где и определены формулами (2.2) и (2.3), путем усреднения по объему , порядок величины которого равен . Фактически, является полем скоростей однородной жидкости с вязкостью , так что
(2.8)
где
Чтобы найти , воспользуемся тем, что поле скоростей, созданное вращающимся уединенным шаром в однородной жидкости должно иметь структуру
. (2.9)
Величина угловой скорости подбирается таким образом, чтобы при поведение совпадало с поведением . Отсюда следует, что
Подчеркнем, что в (2.8) интегрирование должно производиться по бесконечно протяженной области , поскольку вследствие операции усреднения система становится однородной. Иначе говоря, после операции усреднения ячейка образуется всей внешней областью выделенной частицы. Далее необходимо приравнять значения энергии, диссипируемых в пределах одной ячейки до и после усреднения.
Рассчитывая и при помощи (2.2),(2.3) и (2.9) и подставляя их в (2.7) и (2.8), получаем
, (2.10)
. (2.11)
Приравнивая (2.10) и (2.11), получаем следующее уравнение для параметра :
(2.12)
Так как и , то физический смысл имеет только положительный корень уравнения (2.12). Следовательно
(2.13)
или
(2.14)
При и асимтотики принимают значения:
. (2.15)
Выражение (2.13) с хорошей точностью может быть аппроксимировано следующим
при помощи которого можно легко найти асимптотическое значение эффективной вязкости при
(2.16)
Таким образом, задача об определении средней и эффективной вязкостей взвеси сводится к установлению взаимосвязи параметра модели с экспериментально измеряемой величиной , где - суммарный объем, занимаемый дисперсными частицами (), - объем всей системы.
2.3. Анализ зависимости вязкости взвесей от удельного объема, занимаемого дисперсными частицами
Ячеечный подход позволяет описать поведение средней, а также эффективной вязкостей взвеси в более широком интервале значений по сравнению с гидродинамической теорией возмущений [36,75]. Вместе с тем, всем ячеечным подходам, включая развиваемый нами, свойственна неопределенность в задании размера ячейки. С физической точки зрения диаметр ячейки должен иметь порядок среднего межчастичного расстояния между частицами взвеси.
Коэффициент пропорциональности в выражении
(2.17)
может быть определен путем сравнения асимптотического разложения при , средней вязкости , найденной в рамках ячеечного подхода, с разложением, полученным с помощью гидродинамической теории возмущений.
Отметим также, что
Чтобы обеспечить совпадение двух первых коэффициентов соответствующих разложений необходимо положить
(2.18)
С учетом этого формула (2.14) приводит к разложению
. (2.19)
Сравнивая его с (1.4), получаем:
, . (2.20)
Зная значения коэффициентов и можно получить следующее выражение для эффективной вязкости, при
(2.21)
Рис.2.2. Области применимости гидродинамической теории возмущений (1) и ячеечной модели (2), предложенной в настоящей работе, к описанию средней вязкости взвесей.
Подобный прием для определения радиуса ячейки использовался и в работе [66]. В ней, однако, коэффициент пропорциональности в (2.17) определялся только по первому члену разложения. Подчеркнем, что такой выбор коэффициента не приводит к эквивалентности результатов гидродинамической теории возмущений и ячеечного подхода, так как область применимости последнего значительно шире (Рис. 2.2).
Для оценки коэффициента можно воспользоваться следующими соображениями. Ячеечные представления применимы до значений , где [71] соответствует случайной плотной упаковке однородных твердых сфер. Поэтому, учитывая (2.20) и требуя, чтобы при радиус ячейки стремился к своему предельному значению , из уравнения (2.18) мы находим:
Рис.2.3 Зависимость отн