Раздел 2
разработка метода Теоретических исследований деформированного состояния при
прокатке угловых профилей
2.1. Разработка метода построения
трехмерных полей скоростей
В настоящее время известно множество методов теоретического исследования
формоизменения металлов при различных способах обработки давлением. Наиболее
общими методами изучения напряженно-деформированного состояния при обработке
металлов давлением являются вариационные методы, позволяющие «дать постановку
задачи в самом общем виде» [34]. При использовании вариационных методов задача
интегрирования системы дифференциальных уравнений заменяется равнозначной
задачей, заключающейся в отыскании функции, сообщающей наименьшее значение
некоторому интегралу. В механике сплошных сред этот интеграл выражает энергию
деформации или пропорциональную ей величину.
Применение вариационных принципов механики сплошных сред позволяет эффективно
решать задачи теории пластичности, достаточно точно описать формоизменение
металла в процессе его обработки, а также внутреннее напряженное состояние
материала. Это было показано в работах таких ученых-прокатчиков, как: И.Я.
Тарновский, А.А. Поздеев, О.А. Ганаго, В.А. Колмогоров, Г.Я. Гун, Б.М. Илюкович
и др.
К вариационным методам решения задач формоизменения, получившим наибольшее
распространение, относятся: метод Ритца, метод конечных элементов (МКЭ), метод
граничных элементов (МГЭ). Каждый из этих методов имеет свои преимущества и
недостатки, в соответствии с которыми определяется и область их применения.
Решение вариационных задач при помощи метода Ритца нашло широкое применение в
области исследования деформированного состояния при прокатке простых и сложных
профилей. Основной недостаток этого метода решения задачи заключается в том,
что правильное решение можно найти, как правило, только в том случае, если во
время прокатки действительна гипотеза плоских сечений, согласно которой:
(2.1)
То есть продольная составляющая скорости течения металла не зависит от
координаты z и у. Однако такое допущение приемлемо не для всех известных
случаев прокатки. Поэтому применение метода Ритца для исследований
деформированного состояния процессов прокатки ограничено.
В отличие от метода Ритца применение метода конечных элементов позволяет
получить поле скоростей максимально приближенное к действительному, то есть все
составляющие скорости зависят от трех координат. Это делает метод более
универсальным и пригодным для решения особо сложных задач.
Однако реализация МКЭ достаточно сложна и не лишена проблем, свойственных
именно этому методу. Так, например, узким местом считается учет несжимаемости
обрабатываемого материала. Другой сложностью можно назвать учет трения на
контакте. Кроме того, проведение больших теоретических исследований с помощью
МКЭ даже с использованием современной быстродействующей вычислительной техники
может длится довольно долго (иногда несколько суток).
В настоящее время предложено несколько способов решения этих проблем [133].
Однако они реализованы для ограниченного класса задач и некоторые из них должны
быть дополнительно уточнены.
Таким образом, что любой из существующих методов не является совершенным и
дальнейшее развитие математического моделирования должно идти по пути
преодоления описанных выше недостатков каждого из них [137]. Это позволит в
конечном итоге разработать такую систему математического моделирования сложных
процессов ОМД, которая даст возможность наиболее эффективно решать сложные
производственные задачи.
Практические данные показывают, что в большинстве случаев продольная
составляющая течения металла в очаге деформации при прокатке профилей сложной
конфигурации в большей степени зависит, как минимум, от двух координат, то есть
гипотеза плоских сечений не выполняется. Поэтому при выводе математических
моделей процесса прокатки условие (2.1) более правильно переписать так:
(2.2)
или
(2.3)
Однако вывод такого кинематически возможного поля скоростей при помощи
известных методов часто приводит к математическим сложностям при решении
вариационной задачи.
Предлагаемый метод построения трехмерных полей скоростей течения метала в
процессе обработки металлов давлением позволяет получить решение вариационного
уравнения без применения гипотезы плоских сечений.
Например, при выводе поля скоростей для прямоугольного элемента очага
деформации (рис. 2.1) принято, что на ребре 12 продольная скорость течения
металла составляет V1 единиц, на ребре 14 — V2 единиц, 22 — V3 единиц и 24 — V4
единиц (где V1, V2, V3 и V4 — варьируемые уравнения). Тогда, граничные условия
для определения продольной составляющей:
. (2.4)
Примечание.
Как видно из (2.4) принятое в этом случае поле скоростей имеет вид (2.3). В том
случае, если поле скоростей имеет вид (2.2), то граничные условия для
рассматриваемого элемента запишутся так:
(2.5)
Для вывода зависимости продольной составляющей скорости течения металла в
каждой точке объема элемента находим интерполяцию вначале на плоскости 1, где х
= х2, а затем на плоскости 2, где х = х1.
Общую зависимость продольной составляющей скорости течения металла для элемента
будем искать в виде полинома первой степени:
.
С учетом граничных условий (2.4), имеем:
. (2.6)
После определения функции выводим выражения скоростей вертикальных и поперечных
перемещений в геометрическом очаге деформации.
Скорость вертикального перемещения находим в виде:
.
Удовлетворяя граничным условиям:
(2.7)
где , — уравнения поверхностей верхнего и нижнего валков соответственно;
к — означает точку контакта металла с валком,
получим:
. (2.8)
В соответствии с условием непроницаемости
- Київ+380960830922