РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ІКВ-КОДІВ
2.1. Алгебричні моделі кодів з кільцевою структурою
Різноманітність алгебричних моделей монолітного коду при існуючій многовидності
їх інтерпретацій через циклічні блок-схеми, різницеві множини, скінченні афінні
та проективні площини, матриці Адамара [63] та інші комбінаторні об’єкти
вимагають розробки єдиного підходу до методів синтезу згаданих числових
моделей. Один із таких підходів базується на використанні для побудови коду
властивостей полів Ґалуа та геометрій над ними. Тому доцільно нагадати основні
означення та деякі властивості полів Галуа [55].
Для всякого степеня простого числа і будь-якого існує єдине з точністю до
ізоморфізму , тобто поле зі скінченним числом елементів або просто поле Ґалуа,
де означає Galois Field.
Поле можна зобразити як множину всіх класів лишків за модулем довільного
полінома степеня незвідного над полем . Поліном степеня з коефіцієнтами із поля
є незвідним над полем , якщо його не можна записати у вигляді , де і поліноми
над . Наприклад, незвідним поліномом у полі буде поліном . В цьому досить легко
переконатися, перевіривши що він не ділиться без залишку на поліноми степеня з
коефіцієнтами із поля , тобто на поліноми . Поліном степеня незвідний над полем
називається первісним , якщо його корінь є первісним елементом поля . Якщо , то
первісним буде такий незвідний над полем поліном степеня , корінь якого в полі
має період .
У цьому випадку всі корені полінома первісні. Кожен відмінний від нуля елемент
поля представляється у вигляді
(2.1 )
Характеристична функція
(2.2)
елемента є поліномом степеня з коефіцієнтами з .
У полі всі його ненульові елементи різні та утворюють циклічну групу за
операцією множення.
Відомо, що первісний елемент поля має максимально можливий період елементів
цього поля , а степені (к=0, 1,..., ) перебігають усі ненульові елементи і є
також елементами цього поля [55]. Оскільки , то і т.д. Отже , мультиплікативна
група (група за операцією множення) є циклічною. Якщо деякий елемент поля має
період і є коренем полінома , то єдиними коренями полінома будуть також і
елементи поля .
Автоморфізми поля утворюють циклічну групу порядку , яка породжується
автоморфізмом : для будь-якого . Іншими словами, це така взаємна відповідність,
при якій корені даного незвідного полінома переводяться в інші корені цього ж
полінома. В цьому можна переконатися, побудувавши поля для різних коренів
полінома. Так корені полінома є первісними елементами поля . Якщо коренем
полінома візьмемо первісний елемент , то отримаємо поле , елементами якого за
модулем будуть:
Якщо коренем незвідного полінома візьмемо , то отримаємо поле , елементами
якого за модулем будуть:
Елементи поля взаємно однозначно відображаються в елементи , причому
задовольняються всі закони поля [55, 63].
Підполя поля – це поля , де ділить . Для будь-якого поле має єдине підполе , що
складається з елементів поля , які задовольняють рівняння . Первісний елемент
поля задовольняє рівняння , де – незвідний над поліном степеня .
Наприклад, поле можна подати класами лишків за модулем , де – незвідний над
поліном степеня 2. Такими незвідними поліномами є та . Тому утворюються два
ізоморфні поля та з 25 елементами.
Поліном незвідний над . Отже, лишки утворюють поле з 64 елементами. Первісним
елементом в цьому полі є елемент , а його степені дають ненульові елементи поля
: . Підполе поля містить елементи 0, 1; – елементами що задовольняють рівняння
; – елементами , де . Автоморфізми поля утворюють циклічну групу порядку 6, яка
породжується автоморфізмом : для будь-якого .
Простір всіх векторів , , де – довільне поле є проективною геометрією
розмірності над полем , а підпростір розмірності називається гіперплощиною.
У полі існує векторів , таких, що кожен з ненульових векторів визначає одну з
різних точок, і така ж кількість гіперплощин, причому кожна гіперплощина має
різних точок, а утворений на спільних для двох різних гіперплощин підпростір
розмірності містить точок.
(Теорема Зінгера) Гіперплощини геометрії , , які розглядаються як блоки, і
точки як елементи, утворюють симетричну блок-схему з параметрами . Для
зінгерових різницевих множин між параметрами , (де Wn – потужність кільцевого
монолітного коду, n- кількість розрядів кодових слів, N- число кодових слів з
однаковими сумами ваг розрядів) існує зв'язок [63]:
, , , (2.3)
де – степінь простого числа, .
На підставі (2.3) можна визначити
та .
Із цих залежностей легко обчислити степінь полінома, з допомогою якого і
будується алгебрична модель ідеального кільцевого монолітного коду (ІКМК), який
є частковим випадком ІКВ-коду.
Для симетричної блок-схеми виконується співвідношення:
. (2.4)
При симетрична блок-схема буде називатися скінченною проективною площиною
порядку .
Оскільки симетрична блок-схема є циклічною, а точки у будь-якій гіперплощині
визначають ()- різницеву множину [65], то ідеальну кільцеву в'язанку порядку
можна розглядати як скінченне поле, в якому є елементів, що відповідає певній
циклічній блок-схемі та різницевій множині. Скінченні проективні множини є
інструментом для побудови простих ІКВ. Ідеальна кільцева в'язанка може
представляти собою тільки за умови, що параметри ІКВ пов'язані між собою
залежностями , . Ці залежності випливають з теореми Зінгера, за якою скінченні
проективні множини розглядаються як циклічні блок-схеми.
Для побудови алгебричної моделі ІКМК з параметрами Wn=v, n=k, N=l-1, необхідно
обрати або обчислити деякий незвідний над полем поліном, визначити первісний
елемент цього поля з
- Київ+380960830922