РОЗДІЛ II
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ПРО НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНИЙ СТАН ПРУЖНО-ПЛАСТИЧНИХ ОБОЛОНОК З
ТРІЩИНАМИ І ЗВЕДЕННЯ ЇЇ ДО СИСТЕМИ СІР
У другому розділі наведено основні вихідні співвідношення теорії
пружно-пластичних оболонок, постановки розглянутих у дисертаційній роботі задач
(дослідження напружено-деформованого стану пружно-пластичної оболонки довільної
кривини з прямолінійною в плані наскрізною, внутрішньою, поверхневою та двома
колінеарними прямолінійними в плані тріщинами); короткий опис методики зведення
задачі до системи СІР.
2.1. Вихідні гіпотези та співвідношення
В лінійній теорії пружності вважається, що в процесі деформування тіла між
напруженнями та деформаціями спостерігається лінійна залежність. Однак
випробування стандартних зразків переконують у тому, що для більшості
матеріалів закон Гука справедливий лише в області малих деформацій. Діаграма
випробування зразків при розтягуванні має вигляд, приведений на рис. 2.1,а та
рис. 2.1,б. Отже, починаючи з деякої точки , відбувається порушення лінійної
залежності між та .
Рис. 2.1
Якщо при навантаженні зразка напруження сягли значення, що відповідає точці ,
то при наступному розвантаженні зразка існують дві можливості. В першому
випадку зразок повертається у свій початковий стан (рис.2.1, а). Такі матеріали
називають нелінійно-пружними [1]. У другому випадку після зняття навантаження у
зразку з’являються залишкові деформації, які визначаються ділянкою (рис.2.1,
б). Такі матеріали називаються пружно-пластичними.
У загальному випадку навантаження тіло можна поділити на дві частини. У одній з
них виникають пружні деформації, у іншій мають місце пластичні. Виникає
питання, пов’язане із визначенням границі між цими двома частинами, яке
вирішується за допомогою так званого критерію пластичності (текучості) або
умови пластичності (текучості). При одноосному напруженому стані вважається, що
якщо напруження ( - межа текучьості матеріалу), то виконується закон Гука, якщо
ж , то закон Гука перестає бути справедливим і треба використовувати інші
залежності між напруженнями та деформаціями.
Далі наведено основні співвідношення пружності для пологих ізотропних оболонок,
критерії пластичності та - модель
2.1.1. Основні співвідношення теорії пружних оболонок
Класична теорія оболонок ґрунтується на гіпотезі недеформівних нормалей:
нормальний до серединної поверхні оболонки прямолінійний елемент оболонки після
її деформації залишається прямолінійним, нормальним до серединної поверхні і
зберігає свою довжину;
нормальними напруженнями на площинках, паралельних до серединної поверхні
оболонки можна знехтувати;
У межах теорії пологих оболонок передбачається також, що коефіцієнти першої
квадратичної форми поверхні , , а головні кривини та є сталими.
Наведемо основні співвідношення теорії пологих оболонок у випадку ізотропного
матеріалу [6]:
1. Рівняння рівноваги
; ;
; ; (2.1)
де - проекції зовнішнього навантаження на осі координат;
та - головні кривини оболонки;
- мембранні зусилля;
- згинальний момент;
та - перерізуючи сила та крутячий момент на площинках, обумовлених нормаллю
і дотичною до кривої (контуру тріщини).
Позитивні напрямки вказаних величин показані на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Позитивні напрямки компонентів напруженого стану.
2. Геометричні співвідношення
; ; ;
; ; (2.2)
; ;
де - компоненти тангенціальної деформації серединної поверхні оболонки;
- компоненти згинної деформації.
3. Рівняння нерозривності деформації
(2.3)
4. Співвідношення пружності
; ;
; ; (2.4)
; ,
де ;
- модуль Юнга;
- коефіцієнт Пуассона.
Співвідношення (2.1)-(2.4) складають повну систему рівнянь, що описує
напружено-деформований стан тонкої пологої ізотропної оболонки.
У класичній теорії оболонок система диференціальних рівнянь у часткових
похідних для розв’язання задачі має восьмий порядок. Тому, відповідно до
загальної теорії диференціальних рівнянь еліптичного типу, на контурі повинні
бути задані чотири граничні величини і чотири функції підлягають визначенню.
Тобто на кожній частині граничного контуру мають бути задані по одній з кожної
пари величин
; ; ; (2.5)
де - переміщення в напрямках нормалі, дотичної та вісі ;
- кут повороту;
- узагальнена перерізуюча сила.
та - перерізуючи сила та крутячий момент на площинках, обумовлених нормаллю і
дотичною до кривої .
Компоненти напружено-деформованого стану на контурі виражаються через внутрішні
зусилля і моменти наступним чином:
(2.6)
де - мембранні зусилля;
- згинаючі і крутячий моменти;
- перерізуючи сили;
- компоненти одиничного вектора зовнішньої нормалі ;
- компоненти вектора переміщень;
- кути повороту;
Позитивні напрямки внутрішніх зусиль і моментів показані на рис. 2.3 .
Рис. 2.3. Позитивні напрямки зусиль і моментів.
2.1.2. Критерії пластичності
Для плоскої задачі при одноосному розтягуванні вздовж вісі пластичні деформації
виникають, коли сягає межі текучості (критерій для випадку плоскої деформації
був запропонований Сен-Венаном, який базувався на експериментах Треска) [1].
Згідно з класичною теорією оболонок напруження змінюються за лінійним законом,
тобто їх можна представити у вигляді
Звідси маємо для зусилля та моменту наступні формули
Таким чином
Отже на зовнішній та внутрішній поверхнях оболонки отримали:
.
Умова пластичності має вигляд: . Оскільки виконання цієї умови будемо
перевіряти для зусилля та моменту , що діють у пластичній зоні, надалі будемо
записувати її відносно згаданих величин:
(2.7)
Формула (2.7) дає нам умову пластичності у вигляді Треска (на зовнішній
поверхні, узявши сум
- Київ+380960830922