розділ 2.3) – у роботах [46, 97], - й саме побудова такого аналогу була
головною метою дослідження нетипових поляризаційних сингулярностей у
комбінованих пучках.
В даному розділі розглядаються випадки когерентного та некогерентного
змішування двох зважених однозарядних Лагер-Гаусових мод із нижчими радіальними
індексами 0, 1. Отримано загальний розв’язок, який описує суперпозицію
еліптично ортогонально поляризованих вихрових пучків. Обговорюються граничні
часткові випадки, коли змішувані пучки поляризовані лінійно або циркулярно.
Показано, що у цих випадках виникають незвичайні поляризаційні структури, а
саме, замкнені контури і контури з постійним азимутом лінійної поляризації.
Експеримент із виявлення поляризаційних сингулярностей виконується шляхом
поляризаційного аналізу комбінованих пучків й обґрунтованого у Розділах 1 і 2
дифракційного методу аналізу фазових сингулярностей. У подальшому викладенні ми
слідуємо роботам [46, 97].
3.1. Побудова загального розв’язку
Найпростіший нетривіальний випадок досліджуваної проблеми полягає у
когерентному коаксіальному змішуванні зважених ортогонально поляризованих
Лагер-Гаусових мод і [16, 44]. Згідно результатів попереднього розділу, оберемо
моди з рівними каустичними параметрами, однаковими знаками топологічного заряду
і співвідношенням інтегральних потужностей . Подібно до випадку некогерентної
суперпозиції таких мод [44, 45], інтерференція між поляризаційно ортогональними
модами відсутня, а радіальний розподіл інтенсивності у комбінованому пучку є
еквівалентним до такого розподілу в ізольованій моді , як було показано на Рис.
2.1.
Визначимо стани поляризації ортогонально поляризованих мод і (або і ) векторами
Джонса [88, 91]:
і , (3.1)
відповідно. Вектор Джонса комбінованого пучка має вигляд:
. (3.2)
При запису (3.1), декартові координати обираються так, щоб початкові компоненти
парціальних мод були синфазними в околі центрального оптичного вихору й
протифазними при , де фаза моди змінюється на . У формулі (3.2) ; - відношення
амплітуд мод у функції безрозмірної радіальної змінної , що дорівнює відношенню
радіальної координати до ширини пучка на відстані від шийки каустики (тут і
далі функціональна залежність опускається); - фазовий зсув між модами, який
вважається постійним вздовж перетину комбінованого пучка у припущенні рівності
каустичних параметрів й, відповідно, однакової кривизни змішуваних хвильових
фронтів у площині спостереження, рівновіддаленої від шийок двох каустик. При
розгляді поляризаційної задачі ми нехтуємо радіальною залежністю і , оскільки
стан поляризації комбінованого пучка визначається виключно співвідношенням
амплітуд і фаз ортогональних поляризаційних складових. Зміну ж цього
співвідношення вздовж радіусу комбінованого пучка вичерпно враховано множником
.
Пучку з вектором Джонса (3.2) відповідають наступні параметри Стокса:
(3.3)
Параметри Стокса (3.3) знаходяться як комбінації елементів матриці
когерентності Вольфа, побудованої за вектором Джонса (3.2). Із формул (3.3)
видно, що усі (включаючи перший) параметри Стокса комбінованого пучка є
функціями радіальної координати. Таким чином, комбінований пучок виявляється
просторово неоднорідно поляризованим, причому як інтенсивність, так і
поляризаційна структура такого пучка володіє аксіальною симетрією. Із формул
(3.3) можуть бути знайдені азимут поляризації, , та кут еліптичності, .
Вирази (3.3) мають цілком загальний характер – можуть бути використані для
аналізу когерентної суперпозиції довільно ортогонально (в загальному випадку
еліптично) поляризованих мод. У наступному підрозділі ми проаналізуємо найбільш
показові граничні випадки, коли парціальні змішувані моди поляризовані лінійно
або циркулярно.
3.2. Аналіз часткових випадків
3.2.1. - парціальні моди поляризовані лінійно, з азимутами 00 і 900.
Внаслідок довільності вибору декартового базису для розкладу поля на
ортогонально лінійно поляризовані компоненти досліджуваний випадок є досить
загальним.
При , із (3.3) знаходимо нормований другий, третій і четвертий параметри
Стокса:
. (3.4)
Вираз (3.4) описує блукання точки, яка зображає стан поляризації комбінованого
сингулярного пучка вздовж меридіану сфери Пуанкаре, що визначається за станами
поляризації парціальних мод. Таким чином, комбінований пучок у цілому
характеризується еліптичною поляризацією з кутом еліптичності . Радіальний
розподіл кутів еліптичності в комбінованому пучку показано на Рис. 3.1.
Рис. 3.1. Радіальний розподіл кута еліптичності, , у комбінованому сингулярному
пучку, утвореному в результаті когерентного коаксіального змішування
ортогонально лінійно поляризованих мод з різницею фаз .
Азимут поляризації при , де , і при , де . На кільці , де , пучок
поляризований лінійно, ; кут еліптичності не визначений внаслідок зміни знаку
на цьому кільці. На кільці , де , пучок поляризований лівоциркулярно або
правоциркулярно, якщо, відповідно, або , ( від’ємне!). Такі стани поляризації
зображаються на полюсах сфери Пуанкаре, де азимут поляризації не визначено
внаслідок невизначеності . Відмітимо, що у термінах стоксівських сингулярностей
[12] дана ситуація відповідає сингулярності штучної комплексної функції .
Таким чином, у полі еліптичних поляризацій на кільці виникає контур з постійним
азимутом лінійної поляризації , а на кільці - замкнений контур.
3.2.2. - парціальні моди ортогонально
циркулярно поляризовані.
Для даних умов із (3.3) знаходимо нормовані другий, третій і четвертий
параметри Стокса:
, (3.5)
азимут поляризації та кут еліптичності . Вираз (3.5) описує блукан