розділ 2.1), поряд із співвідношеннями - динаміку систем DPS1 й DPS2 можна описати й інтегральними моделями - та . Для цього необхідно визначити матрицю-функцію - ядро інтегральної моделі -.
2.2.1. Розглянемо системи типу DPS1, де оператори , не адекватно описують залежність вектор-функції від , містять невідомі параметри, або ж зовсім невідомі. Нехай при деяких значеннях
вектор-функції зовнішньодинамічних збурень експериментально отримано послідовність
спостережень за вектор-функцією стану .
Введемо позначення
, .
Надалі будемо вважати, що спостереження , задані точно. Матрицю-функцію побудуємо так, щоб
.
Введемо наступні позначення:
,
- пряме та обернене -вимірне перетворення Фур'є матриці-функції по змінній ;
,
- пряме та обернене перетворення Лапласа матриці-функції по змінній;
,
- добуток прямих та обернених перетворень Фур'є та Лапласа. Тут - комплексна змінна, , а .
Позначимо через простір матриць-функцій з , які є оригіналами перетворення Лапласа по змінній .
Теорема 2.3. Якщо , , , і вектор-рядки матричної функції лінійно незалежні, то розв'язок задачі для системи DPS1, спостережуваної згідно , , у просторі єдиний і має вигляд
.
Доведення. Функціонал буде досягати мінімуму, якщо
, .
З врахуванням позначень систему перепишемо у вигляді
.
Операція "згортка" комутативна, тому
,
або
,
де
, .
Після дії перетворення на ліву і праву частину системи рівнянь отримуємо
.
В силу теореми 1.1 (див. пункт 1.4.1) середньоквадратичне наближення до розв'язку рівняння для кожного має вигляд
,
або
,
де , - довільні - та -вимірні вектор-функція та матриця-функція.
Покажемо єдиність розв'язку задачі . Для цього необхідно і досить, щоб оператор, породжений матрицею-функцією , був не виродженим. Останнє можливе за умови, коли [118,120]:
,
або при
,
,
де - комплексно спряжена до матриця-функція.
Рівність Парсеваля [26] легко узагальнюється на випадок матриць-функцій. Тоді
.
Якщо вектор-рядки матричної функції лінійно незалежні, то для будь-якого ненульового вектора
.
А це означає, що матриця
додатньовизначена. З критерію Сильвестра випливає, що
.
Враховуючи , з отримуємо
.
З випливає , , а отже і . Звідси отримуємо, що
.
Після дії перетворення на рівняння з врахуванням отримуємо . Останнє можливе в силу того, що [63] . Теорема доведена.
Якщо при цьому і матриця-функція задовольняє умові Гьольдера по змінній в , то [36].
Для побудови функціональної матриці виникає необхідність знаходити матрицю-функцію - псевдообернену до . Нехай
,
,
де
,
- -вимірні косинус та синус перетворення Фур'є по змінній , , . Тоді
.
Використовуючи формули для обчислення псевдообернених матриць-функцій , (пункт 1.4.3) з , отримуємо
,
де
, ,
, .
2.2.2. Розглянемо випадок, коли для систем DPS1 відомі рівнянь вигляду , а компонент вектор-функції недоступні для спостереження.
Частину елементів матриці-функції визначимо з наявних співвідношень . Для цього рівняння перепишемо у вигляді:
,
де
, ,
, ,
.
Тоді
,
.
Якщо всі диференціальні рівняння в незалежні, тобто жодне з них не може бути представлене у вигляді лінійної комбінації інших рівнянь та похідних від них, то існує обернена до матриця-функція така, що
.
Використовуючи метод символічного інтегрування [85,86,115,120] з отримуємо, що залежність між матрицями-функціями та має вигляд
,
Нехай відома деяка кількість спостережень , за системою. Якщо спостереження точні, то
, ,
або
, .
Матрицю-функцію побудуємо так, щоб виконувались умови і
.
Останнє рівносильне середньоквадратичному оберненню системи
.
Розглянемо випадок, коли перші компонент вектор-функції стану недоступні для спостереження, натомість зі спостережень відомі лише вектор-функції
(),
де
.
Системи рівнянь , яка випливає з , з урахуванням перепишемо у вигляді:
,
,
де
, ,
,
Теорема 2.4. Якщо для системи DPS1 при наявності рівнянь виконуються умови теореми 2.3, спостережуваної згідно , , то розв