РАЗДЕЛ 2
СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ О ДЕЙСТВИИ ПОДВИЖНЫХ
НАГРУЗОК НА БАЛКУ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
2.1. Основные соотношения теории С.П. Тимошенко колебаний балки на упругом основании
Динамические явления, протекающие в упругих системах с подвижными массами, характеризуются особенностями, вызванными изменениями геометрии масс с течением времени. Для них утрачивается, например, понятие собственных колебаний, а формы движения приобретают вид бегущих волн, сопровождающих подвижные массы. Поэтому изменяется и концепция критических состояний. Если в чисто колебательных системах они связываются с резонансами, возникающими при совпадении или кратности частот собственных колебаний и вынужденной периодической нагрузки, то при действии подвижных нагрузок критические состояния оказываются обусловленными совпадением скоростей распространения собственных волн и соответствующих компонент подвижных нагрузок. Для этих случаев меняется и форма поведения в критическом режиме. Для подвижных нагрузок (непериодических) в критическом состоянии неограниченно возрастает максимальное перемещение, не являясь при этом знакопеременным, как это бывает в резонансных случаях колебательных систем.
С учетом этих особенностей должна быть поставлена задача о качении тяжелого колеса по балке на упругом основании, которая для стационарного случая может быть приведена к задаче о движении по ней вызванных силами инерции, тяжести и трения качения системы сосредоточенной силы и момента. Поскольку функция прогибов балки в этом случае имеет вид бегущей волны, ее исследование должно проводиться в рамках построенной С.П. Тимошенко теории изгиба стержня, учитывающей деформации сдвига и поворота его поперечных сечений.
В данном пункте ставится задача о стационарном движении колеса (или системы, состоящей из сосредоточенной силы и момента), поскольку она является простейшей и в областях вне сосредоточенных воздействий описывается однородным дифференциальным уравнением. Постановка задачи о действии распределенных нагрузок и вывод соответствующих уравнений будут изложены в соответствующих пунктах.
Итак, пусть по балке на упругом основании котится колесо с постоянной скоростью . Совместим ось с продольной осью балки, обозначим функцию ее прогиба. В соответствии с теорией С.П. Тимошенко, при исследовании возбуждаемой подвижной нагрузкой бегущей изгибной волны в балке принимается, что полный угол наклона ее нейтральной оси складывается из угла , обусловленного изгибом, и дополнительного угла поворота , вызванного сдвиговыми деформациями [72, 144, 149]:
, (2.1)
где - непрерывная функция, , а следовательно и , могут быть разрывными.
Соотношения динамики стержня определяются уравнениями вращательного и поступательного движения его элемента:
; , (2.2)
где - перерезывающая сила; - изгибающий момент; - момент инерции; - плотность материала стержня; - интенсивность внешней нагрузки; - площадь сечения. Для функций и справедливы равенства:
; , (2.3)
где , - параметры упругости материала; - коэффициент формы сечения.
Подставляя второе равенство (2.3) во второе равенство (2.2), имеем:
. (2.4)
Из этой зависимости с помощью первого равенства (2.3) получаем:
. (2.5)
Подставляя первое равенство системы (2.2) во второе, учитывая (2.3), (2.5) и полагая для балки на упругом основании , где - коэффициент постели, приходим к уравнению поперечных колебаний балки
, (2.6)
которое не содержит присутствующих в (2.1)-(2.4) функций и .
Условно выделим движущееся колесо и рассмотрим его взаимодействие с балкой. Со стороны колеса на балку передаются подвижная сила тяжести и активный элемент , уравновешивающий момент сил трения качения. Здесь - коэффициент трения качения. Примем, что ось направлена параллельно линиям действия сил тяжести и что процесс движения колеса и колебаний балки является установившимся. Тогда удобно ввести подвижную систему координат , начало которой связано сточкой контакта колеса и балки, ось скользит вдоль оси со скоростью , а ось остается параллельной оси . Поскольку в этой системе координат движущаяся балка представляется неподвижной, то ее изгибание будем рассматривать в этой системе.
Учитывая зависимости
;
; ,
входящие в (2.6) производные представим в виде:
; ;
; (2.7)
и с помощью (2.2), (2.3) и (2.5) выражения для и перепишем в форме:
;
, (2.8)
где штрихами обозначено дифференцирование по .
С помощью замены (2.7) уравнение с частными производными (2.6) приводим к однородному уравнению с обыкновенными производными:
, (2.9)
которое описывает стационарное движение балки в зонах, свободных от действия внешней нагрузки.
2.2. Свободные гармонические волны. Дисперсионный анализ
При изучении движения нагрузки по балке на упругом основании важно знать характер распространения свободных гармонических волн, поскольку ими также определяются критические значения скоростей подвижных сил и резонансные режимы. Для этого рассмотрим исходные уравнения поперечных колебаний балки.
. (2.10)
Оно допускает решение в форме бегущей гармонической волны:
. (2.11)
Подставляя его в (2.10), получим:
. (2.12)
Обозначив , , перейдем к квадратному уравнению
.
Выражая через , получим дисперсионную зависимость
.
Используя эти формулы, выражаем через . Для анализа