РОЗДІЛ 2
ЕКСПЛУАТАЦІЙНА СИСТЕМА ОБСЛУГОВУВАННЯ
У СХЕМІ УСЕРЕДНЕННЯ
Експлуатаційна система обслуговування (ЕСО) типу розглядається у навантаженому
режимі схемі усереднення з малим параметром серії . Математична модель ЕСО
описується напівмарковською випадковою еволюцією [34]. Аналогічна марковська
модель типу розглядалась у роботах В.В.Анісімова та Є.А.Лебєдєва [2],
Є.А.Лебєдєва та А.А.Чечельницького [40] а також В.С.Королюка та В.В.Королюка
[64].
Для використання алгоритмів усереднення та дифузійної апроксимації випадкових
еволюцій необхідно розглядати випадкові еволюції в ергодичному середовищі на
достатньо великих інтервалах часу. Введення малого параметра серії є ефективним
і зручним методом розв’язання таких проблем. Істотною проблемою при розв’язанні
задач усереднення та дифузійної апроксимації випадкових процесів та випадкових
еволюцій є вибір типу залежності від параметра серії e.
В данному розділі схема усереднення моделі напівмарковської випадкової
еволюції реалізується з використанням розв’язку проблеми сингулярного збурення
(див. [64]) для породжуючого оператора розширеного процесу марковського
відновлення [27,49,66].
2.1. Процес обслуговування вимог у мережах типу
Розглядається експлуатаційна система обслуговування типу задається відповідними
параметрами [75] і задовольняє сформульованим нижче умовам.
1) N вузлів обробки інформації, час обробки (виходу з вузла) в яких має
показниковий розподіл з інтенсивностями .
2) В кожний вузол надходить рекурентний потік вимог з функціями розподілу
3) Рух вимог в мережі визначається матрицею маршрутизації [2, с.115]
тут ѕ ймовірність того, що після обслуговування у вузлі , вимога потрапляє на
обслуговування у вузол .
4) Дана мережа є відкритою, тобто виконується додаткова умова:
(У2.1) (2.1)
тут ѕ ймовірність, з якою вимога, після обслуговування в -му вузлі, покидає
мережу. Розглядати еволюцію процесу обслуговування в стаціонарному режимі
можливо саме за виконання цієї умови.
Елементи матриці маршрутизації задовольняють також умови:
. (2.2)
5) Припускається необмежена черга вимог у системі.
Інтенсивності та перші два моменти рекурентних потоків визначаються формулами:
(У2.2) ,
.
Рахуючі процеси рекурентних потоків визначаються в такий спосіб:
(2.3)
Означення 2.1. Суперпозиція процесів відновлення[27]
. (2.4)
задається процесом марковського відновлення у фазовому просторі станів
(2.5)
напівмарковським ядром [27]:
(2.6)
Тут ѕ залишковий час відновлення в r-му вузлі, ѕ моменти відновлення рахуючого
процесу (2.4):
Загальний потік вимог в мережу визначається суперпозицією процесів відновлення
(2.4).
Зауважимо, що подальший аналіз не залежить від додаткових неперервних
компонент, тому вони не вказані у визначенні напівмарковського ядра (2.7).
6) Траєкторія руху вимоги, що надійшла через -тий вузол описується марковським
процесом , який задається породжуючою матрицею
де , ѕ символ Кронекера,
ѕ діагональна матриця інтенсивностей обслуговування.
Нагадаємо, що марковський процес задається інтенсивностями переходу із -го
стану в -тий та інтенсивністю перебування у стані [62].
Згідно з означенням мережі систем обслуговування інтенсивність перебування в
станах ѕ це , а інтенсивність переходу з -го вузла обслуговування в -тий
визначається як .
Означення 2.2. Процес обслуговування , визначає число вимог, що обслуговуються
в системі в момент часу t. Процес обслуговування задається вектором , де кожна
компонента ѕ це число вимог в -му вузлі мережі () в момент часу .
2.2. Напівмарковська випадкова еволюція процесу обслуговування
В даному підрозділі сформульовано та доведено три важливі леми. Перша з них
визначає еволюцію вимог у мережі у формі марковського процесу. У лемі 2.2.
подано стохастичне представлення нормованого процесу обслуговування.
Стаціонарний розподіл ВЛМ (2.4)-(2.7) визначено в лемі 2.3.
Нехай режим критичного завантаження мережі визначається умовою
(У2.3)
Еволюція вимог у мережі розглядається у схемі серій. Вибір параметра серії
визначається умовами завантаженого режиму роботи системи.
Для аналізу ЕСО у схемі усереднення введемо нормований процес обслуговування
наступним чином:
. (2.7)
Початкова навантаженість системи визначається умовою
(У2.4) , ,
де , ѕ кількість вимог в -му вузлі в масштабі параметра серії .
Наступна лема визначає еволюцію вимог у мережі .
Лема 2.1. Еволюція вимог у мережі в режимі критичного завантаження описується
марковським процесом , в евклідовому просторі , що задається генератором на
тест-функції :
, (2.8)
де вектори стрибків:
(2.9)
та інтенсивності стрибків:
. (2.10)
Доведення. Згідно з означенням ЕСО марковський процес , в евклідовому просторі
задається векторами та інтенсивностями стрибків (2.9)-(2.10). Відповідно до
означення ЕСО вимоги можуть переходити по одній з одного вузла мережі (k-го) в
інший (r-й), що визначається векторами (2.9); або залишати мережу з k-го вузла,
що визначається векторами стрибків .
При початковій умові інтенсивність часу обробки інформації в k-му вузлі
визначається величиною . Згідно з матрицею маршрутизації перехід вимоги з k-го
вузла в r-й відбувається з ймовірністю . Отже інтенсивність стрибка
визначається (2.10).
Наслідок 2.1. Генератор (2.8) напівгрупи на тест-функціях має асимптотичне
представлення
, (2.11)
де генератор набуває вигляду
. (2.12)
Дійсно,
Для першого доданку, враховуючи (2.9), ѕ
Наслідок 2.2. Враховуючи вираз коефіцієнтів (2.10) генератор (2.12)
- Київ+380960830922