РОЗДІЛ 2
РОЗРОБКА МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ РАДІАЦІЙНО-КОНДУКТИВНОГО ТЕПЛООБМІНУ ПРИ ВИРОЩУВАННІ ОКСИДНИХ КРИСТАЛІВ
2.1. Математичне формулювання одновимірної задачі
Розглядається два напівпрозорих середовища: кристалічне й розплавлене з коефіцієнтами теплопровідності і , густинами і , теплоємностями і , коефіцієнтами поглинання і та показниками переломлення і відповідно (рис. 2.1). На торцях системи кристал-розплав розглядаються непрозорі дифузні границі з коефіцієнтами відбиття і відповідно. Теплофізичні й радіаційні властивості фаз, що розглядаються, приймаються ізотропними та незалежними від температури. Кристал і розплав вважаються однорідними середовищами, тобто послаблення випромінювання через розсіювання нехтується. Процес НК починається зі стаціонарного режиму за рахунок зниження температури на зовнішніх границях системи кристал-розплав ; . ГУ на зовнішніх границях системи задаються у вигляді функціональних залежностей:
,(2.1) На ФК при тепловий контакт вважається ідеальним [9]: температури зі сторони кристала й розплаву однакові та дорівнюють температурі рівноважного існування фаз:
,(2.2)де - ФК зі сторони розплаву; - зі сторони кристала; - рівноважна температура кристалізації.
В одновимірній постановці нестаціонарне Т-поле при РКТ без урахування внутрішніх джерел енергії описується рівнянням енергії [82]:
, (2.3)де ; при , - кристал; при , - розплав; - положення ФК; - висота системи кристал-розплав; , і - питома ізобарна теплоємність, густина і коефіцієнт теплопровідності середовища; - час; - РП, що проходить через кристал; - РП, що проходить через розплав.
Дивергенція РП характеризує швидкість приросту енергії випромінювання в фазі та представляє собою інтегральну величину, що враховує випромінювання, яке падає в дану точку з усіх шарів, границь і напрямків системи
, (2.4)де ; і - інтенсивності випромінювання в додатньому й від'ємному напрямках відносно осі 0X (див.рис. 2.1); - коефіцієнт поглинання; - показник переломлення; - косинус кута між вектором інтенсивності й віссю 0X; - інтегральна інтенсивність випромінювання абсолютно чорного тіла, величина якої визначається за законом Стефана-Больцмана [85].
Вираз для РП може бути представлений у вигляді
, (2.5) Інтенсивності та , що входять до (2.4), (2.5), згідно [86] можуть бути визначені за наступними виразами:
, (2.6) (2.7)де - поточна координата вздовж вісі 0X. Вираз (2.6) записаний для кристалічної, а (2.7) - для розплавленої фаз. Перший додаток правої частини кожного виразу (2.6), (2.7) характеризує випромінювання в точці , яке падає з однієї з границь фази, що розглядається, другий додаток - випромінювання, яке падає в точку з усіх внутрішніх шарів фази, що знаходяться між границею й даною точкою.
Інтенсивності випромінювання на зовнішніх границях системи кристал-розплав , та на ФК , можуть бути визначені з балансу радіаційної енергії на границях системи. Для кристала маємо
(2.8) У першому рівнянні системи (2.8) інтенсивність випромінювання на зовнішній непрозорій границі дорівнює сумі власного випромінювання границі й відбитого випромінювання, яке падає на границю з усіх шарів кристала. В другому рівнянні інтенсивність випромінювання на напівпрозорому ФК зі сторони кристала дорівнює сумі відбитого випромінювання, яке падає на границю зі сторони кристала, й випромінювання, яке проходить через ФК з розплаву. Аналогічним чином записується баланс радіаційної енергії для границь розплаву
(2.9) У (2.8), (2.9) - дифузний коефіцієнт відбиття напівпрозорого ФК зі сторони кристала, а - зі сторони розплаву. За умови збереження енергії випромінювання на напівпрозорій границі [86] обидва коефіцієнти відбиття знаходяться в співвідношенні
(2.10) У загальному випадку коефіцієнт дифузного відбиття радіації, що падає з середовища з меншим показником переломлення в середовище з показником переломлення , визначається за формулою Френеля [86] з інтегруванням за напрямком
(2.11) Стосовно ФК, за формулою (2.11) буде розраховуватися , а потім за (2.10) , якщо . І навпаки. При спочатку визначається , а потім .
Для отримання виразів РП та його дивергенції в кожній з фаз необхідно розв'язати систему дванадцяти рівнянь, яка складається з рівнянь балансу енергії випромінювання на границях системи кристал-розплав (2.8) і (2.9), формальних розв'язків рівняння переносу, записаних для поточної координати (2.6) і (2.7), та формальних рішень рівняння переносу, записаних для границь системи. Розвернуті вирази цих величин приведено в додатку А.
Рівняння балансу енергії на ФК має вигляд
,(2.12)де - об'ємна теплота фазового переходу.
2.2. Методика чисельного розв'язку одновимірної задачі
З проведеного огляду чисельних методів розв'язку задачі Стефана, за основу була вибрана комбінована явно-неявна схема [22] з використанням координатної сітки, що динамічно перебудовується. Вибір такої схеми обумовлений головним чином необхідністю в інформації про точне положення ФК для більш детального вивчення локальних теплових процесів на ФК. На відміну від схеми "ловлі фронту в вузол координатної сітки", сітка, що динамічно перебудовується, дозволяє для будь-якого моменту часу визначати положення ФК. В загальному вигляді методику можна коротко описати наступним чином. З рівняння енергії (2.3) для заданого моменту часу й положення ФК відшукується розподіл температури в кожній фазі. Потім оцінюється баланс енергії на ФК (2.12), в результаті чого уточнюється нове положення ФК. Для нового положення ФК знову відшукується розподіл температури та проводиться оцінка балансу енергії на ФК. Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не буде отриманий баланс енергії на ФК з наперед заданою точністю.
Універсальним чисельним методом рішення диференціальних рівнянь є метод скінчених різниць. Для отримання замість диференціального рівняння скінчено-різницевого рівняння необхідно замінити область неперервної зміни аргум