Раздел 2
СФЕРИЧЕСКАЯ ДИСКОВАЯ МИКРОПОЛОСКОВАЯ АНТЕННА, СИММЕТРИЧНО ВОЗБУЖДАЕМАЯ РАДИАЛЬНЫМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ДИПОЛЕМ
2.1. Постановка задачи
В данной главе рассматривается задача об осесимметричном излучении сферической дисковой микрополосковой антенны (МПА). Такая антенна моделируется идеально проводящим (ИП) шаром радиуса , покрытым слоем диэлектрика толщины с относительной диэлектрической проницаемостью (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Геометрия сферической дисковой МПА, возбуждаемой РЭД
На внешней поверхности диэлектрического слоя расположен бесконечно тонкий ИП сферический диск радиуса кривизны и углового размера . Задача рассматривается в сферической системе координат (), центр которой совпадает с центром металлического шара. Если возбуждение МПА осуществляется открытым концом коаксиального кабеля, то его можно моделировать элементарным радиальным электрическим диполем (РЭД), расположенным на поверхности ИП шара. Будем также полагать, что все среды являются немагнитными, т.е. всегда . Зависимость от времени будем задавать функцией .
Требуется найти полное электромагнитное поле , возбуждаемое сторонним током в присутствии МПА. Для того чтобы эта задача имела единственное решение, необходимо выполнение следующих условий:
* полное поле должно удовлетворять уравнениям Максвелла всюду вне границ раздела:
, , (2.1)
где - сторонний электрический ток, который в данном случае создан элементарным электрическим диполем с моментом , причем здесь - амплитуда тока в диполе, - его длина.
Будем считать, что слой диэлектрика () - это область "1", а областью "2" будет оставшееся свободное пространство .
Предельные значения тангенциальных компонент поля должны удовлетворять:
* граничному условию на поверхности ИП шара:
, (2.2)
* условию непрерывности электрического поля на всей сферической поверхности :
, (2.3)
* смешанным условиям при : на поверхности ИП диска - для электрического поля, и на дополнительной к диску поверхности диэлектрического слоя - для магнитного поля:
, (2.4.1)
, (2.4.2)
* условию излучения Сильвера-Мюллера, которое заключается в том, что электромагнитное поле на бесконечности должно вести себя как уходящая сферическая волна [70]:
. (2.5)
Из этого условия, в нашем случае, вытекает, что
, (2.6)
где - диаграмма направленности (ДН) по полю, - импеданс свободного пространства, .
* Условию ограниченности энергии в любом ограниченном объеме вне источников, в том числе, включающем края диска:
. (2.7)
Это условие определяет допустимое поведение компонент поля вблизи ребра диска. Можно показать, что они должны вести себя так: , где - расстояние до ребра.
Для нахождения электромагнитных полей будем использовать вспомогательные функции - потенциалы Дебая [71]. В отличие от полей и , потенциалы Дебая - электрический и магнитный - удовлетворяют уравнению Гельмгольца всюду вне источников. В случае РЭД на оси МПА достаточно одной функции: электрического потенциала Дебая , а . При этом компоненты электромагнитного поля выражаются через электрический потенциал Дебая следующим образом:
. (2.8)
Далее мы рассмотрим общий случай, когда диполь смещен вдоль вертикальной оси на расстояние , при этом будем иметь в виду, что . Положив в конечном результате , мы получим решение задачи для диполя на поверхности ИП шара.
2.2 Сведение краевой задачи к уравнениям в парных рядах
Рассмотрим поле, излучаемое РЭД, удаленным на расстояние вдоль оси из центра сферической системы координат в однородной неограниченной среде с диэлектрической проницаемостью . Сторонний ток, соответствующий такому источнику, имеет вид:
, (2.8.1)
где - орт оси в сферической системе координат.
Выражение для соответствующего электрического потенциала Дебая можно получить на основе уравнения, связывающего потенциал с током [72] и [71]:
, (2.8.2)
где - функция Грина скалярного уравнения Гельмгольца, причем , .
Известно следующее разложение скалярной сферической волны по функциям Лежандра [71]:
, (2.9)
где - присоединенные функции Лежандра, , - сферические функции Бесселя и Ханкеля первого рода, соответственно. Подставляя (2.9) и (2.8.1) в (2.8.2) и используя свойства дельта-функций, получаем следующее выражение для электрического потенциала Дебая поля элементарного РЭД:
, (2.10)
где - полиномы Лежандра.
Тангенциальные компоненты электромагнитного поля, созданного элементарным РЭД в однородном пространстве, заполненном диэлектриком с проницаемостью , получаем, подставляя (2.10) в выражение (2.8):
(2.11)
где при дифференцировании было учтено, что . Задача заключается в нахождении полного электромагнитного поля, излучаемого сферической дисковой МПА, симметрично возбуждаемой с помощью РЭД.
Поэтому, решение в области "1" будем строить в виде:
, (2.12)
где - известное возбуждающее поле диполя, заданное уравнениями (2.11), а - поле в области "1", вызванное рассеянием на шаре, сферическом слое и сферическом диске. Это поле будем искать в виде такого же разложения по присоединенным функциям Лежандра, как и возбуждающее поле, учитывая, что в нем должны содержаться приходящие и уходящие волны вдоль координаты . При этом очевидно, что, в силу осевой симметрии функций (2.11) и граничных условий (2.2)-(2.5), рассеянное поле будет содержать только такие же компоненты, как и возбуждающее поле РЭД: и .
Итак, в области "1" ():
, (2.13)
Аналогичным образом запишем представление для ненулевых тангенциальных компонент полного поля в области "2" в виде рядов, удовлетворяющих условию излучения (2.5).
Поэтому в области "2" ():
(2.14)
где . Таким образом, поставленная задача сводится к нахождению набора неизвестных коэффициентов разложения полей: . Нетрудно видеть, что благодаря представлениям (2.11), (2.12) и (2.14), поля уже удовлетворяют уравнениям Максвелла и условию излучения. Для отыскания коэффициентов разложения мы должны воспользоваться граничными условиями и условием ограниченности энергии.
Используя граничное условие (2.2) и подставляя в него выражение и
- Київ+380960830922