РОЗДІЛ 2
ВИКОРИСТАННЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО ДО ОПИСАННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ НА ПЛОЩИНІ
В даному розділі розглянуто побудову різних геометричних елементів на площині із використанням функції комплексного змінного. Показана можливість отримання різних систем криволінійних координат у площині шляхом конформного перетворення прямолінійних ортогональних сіток за допомогою функцій комплексного змінного.
Запропоновано метод конформного відображення довільних кривих, заданих у явній формі, параметричними рівняннями, рівняннями в полярних координатах та натуральним рівнянням.
Розглянуто знаходження координат дійсних точок перетину дотичних, що проходять через дійсні та уявні точки параболи і кола.
2.1. Конформне відображення довільних кривих, заданих різними видами рівнянь
За допомогою довільної аналітичної та неперервної функції комплексної змінної можна задавати конформне перетворення на комплексній площині [55]. В літературі [13, 16, 30, 55, 56, 83, 93 та ін.] досить часто розглядаються загальні властивості конформних відображень елементарними функціями, але ми не зустріли досліджень щодо конформних відображень кривих.
Дослідимо, в які геометричні об'єкти перейдуть криві, задані різними способами на комплексній площині Z.
Нехай крива задана у явній формі . Для того, щоб знайти рівняння кривої, отриманої при конформному відображенні , достатньо до виразів (1.6) замість у підставити відповідну функцію . Таким чином, рівняння конформно перетвореної кривої буде мати вигляд:
Розглянемо приклад. Криву в комплексній площині Z задамо рівнянням . Знайдемо рівняння кривої, утвореної при конформному відображенні, реалізованому функцією . Підставимо до рівнянь (1.7) замість у його значення:
. (2.1)
На рис. 2.1, а показано задану криву , на рис. 2.1, б показано криву (2.1), утворену при конформному відображенні .
а) б)
Рис. 2.1. Конформне відображення кривої, заданої у явній формі
Проаналізуємо випадок, коли крива задана параметричними рівняннями . Рівняння кривої, конформно перетвореної функцією дістанемо, підставивши до дійсної та уявної частин (1.6) функції комплексної змінної замість х та у їх значення. Тобто рівняння отриманої кривої запишеться в параметричному вигляді з параметром t:
На рис. 2.2, а представлено криву, задану параметричними рівняннями , на рис. 2.2, б - крива, утворена за допомогою конформного відображення, заданого функцією .
а) б)
Рис. 2.2. Конформне відображення кривої, заданої параметричними рівняннями
Дійсна та уявна частини функції мають вигляд:
Знайдемо для утвореної сітки коефіцієнти першої квадратичної форми.
Це означає, що сітка, зображена на рис. 2.2, б є ортогональною.
Розглянемо випадок, коли рівняння кривої задано в полярних координатах Підставимо до виразів (1.6) замість х та у значення , і таким чином одержимо рівняння кривої, одержаної при конформному відображенні :
Крива, утворена при конформному відображенні кривої, заданої в полярних координатах рівнянням (рис.2.3, а) показана на рис. 2.3, б.
Знайдемо коефіцієнти першої квадратичної форми для сітки, утвореної шляхом конформного відображення комплексною функцією прямолінійної ортогональної сітки. Оскільки дійсна та уявна частини заданої функції запишуться:
;
то в даному випадку значення коефіцієнтів лінійного елемента утвореної сітки мають вигляд:
Таким чином, рівність середнього коефіцієнта нулю означає, що сітка, розміщена на рис. 2.3, б є ортогональною.
а) б)
Рис. 2.3. Конформне відображення кривої, заданої в полярних координатах
Нехай крива задана натуральним рівнянням . Для того, щоб знайти рівняння конформно відображеної кривої, знаходимо значення х та у:
; . (2.2)
Підставивши до дійсної та уявної частин (1.6) функції комплексної змінної замість х та у отримані значення (2.2), маємо шукані рівняння:
На рис. 2.4, а представлено ланцюгову лінію, задану натуральним рівнянням , на рис. 2.4, б зображено криву, отриману при відображенні .
а) б)
Рис. 2.4. Конформне відображення кривої, заданої натуральним рівнянням
Процес побудови відповідних кривих можна автоматизувати за допомогою програм, написаних для системи комп'ютерної математики Maple [35] (Додаток А).
2.2. Конформне відображення геометричних елементів, віднесених до ізотермічних координат
Ізотермічною називають систему ліній на поверхні, яка конформно відображається на прямокутну сітку координатних ліній , на площині. Назва пов'язана із тим фактом, що на будь-якій поверхні з постійною теплопровідністю і без віддачі тепла в простір всі лінії однієї сім'ї ізотермічної системи будуть ізотермами (лініями сталої температури), якщо тільки дві із них зберігають постійну температуру [90].
В деяких підручниках (наприклад, в [60]) ізотермічну сітку називають ще ізометричною (по почину Бонне), а координати - ізометричними. Однак більшість авторів надають перевагу терміну "ізотермічні координати" [41]. Для прикладної геометрії вони цікаві тим, що дозволяють здійснювати конформне відображення геометричних елементів із однієї ортогональної сітки на іншу.
Перша квадратична форма поверхні спрощується при віднесенні поверхні до ортогональної сітки, оскільки її середній коефіцієнт дорівнює нулю. Відповідно спрощуються й інші вирази, до яких входять коефіцієнти першої квадратичної форми, що полегшує написання математичної моделі, до якої входять диференціальні характеристики поверхні. Тому темі конструювання ортогональних сіток присвячені деякі праці [72,73].
В довільній ортогональній сітці крайні коефіцієнти першої квадратичної форми представляють собою різні вирази, то