розділ 2, отримаємо ,
. Лема 3.5. доведена.
Введемо простори , де простори введені в розділі 2, п.2.1.1.
Лема 3.6. Простір розкладається в ортогональну суму просторів : .
Доведення. Будь-яку вектор-функцію вигляду можна подати у вигляді суми
Аналогічні розклади мають місце для вектор-функцій , вигляду
Оскільки множина елементів є щільною в , то для будь-якого .
Отже, ,, ,
де - тотожний оператор в . Cума є ортогональною оскільки ? ортопроектори. Лема
3.6. доведена.
Лема 3.7. Для будь-яких вектор-функції
є розв’язками рівняння (3.5) з простору та справджуються оцінки
(3.14)
Доведення. Враховуючи лему 3.4, вектор-функція є розв’язком рівняння (3.5) для
та є розв’язком рівняння (3.5) для . Доведемо нерівності (3.14).
Нехай .
Розвинемо вектор-функції в ряди за системою :
Обчислимо
. (3.15)
Для вектор-функції отримаємо
. (3.16)
Лема 3.7. доведена.
Лема 3.8. Для будь яких справджуються оцінки
(3.17)
(3.18)
Доведення. Використовуючи доведення нерівностей (3.15), (3.16) отримуємо
Функція досягає максимуму при , функція монотонно зростає на . Тому виконуються
оцінки
Лема 3.8. доведена.
Теорема 3.3. Для будь-яких існує єдиний розв'язок задачі (3.5),(3.6) та
справджуються оцінки
, (3.19)
де .
Доведення. Оскільки на , то на ,. При цьому на маємо
, .
Отже, сума є ортогональною в сенсі рівності в просторі :
. (3.20)
З леми 3.4 випливає існування та єдиність розв’язку задачі (3.5), (3.6). З
рівності (3.20) та нерівностей (3.17), (3.18) отримуємо оцінки (3.19) .
Теорема 3.3. доведена.
Теорема 3.4. Для будь-яких , існує єдиний розв'язок
задачі (3.1), (3.7) та виконується нерівність
. (3.21)
Доведення. З існування та єдиності розв’язків задач (3.3), (3.4) , (3.5), (3.7)
(див. теореми 3.2, 3.3) та представлення розв’язку задачі (3.1), (3.7)
випливає, що існує єдиний розв’язок задачі (3.1), (3.7). Враховуючи нерівності
(3.10), (3.19) та , отримаємо нерівність (3.21), де , . Теорема 3.4. доведена.
3.2. Крайова задача для збуреного диференціально-операторного
рівняння другого порядку.
3.2.1. Спектральна задача для збуреного оператора.
Дослідимо задачу збурену до задачі (3.1), (3.2):
;, (3.22)
де ,
. (3.23)
Означення 3.2.
Розв’язком задачі (3.22), (3.23) називаємо функцію , щозадовольняє рівності
Розглянемо відповідну напіводнорідну задачу :
Введемо оператори :
Раніше було отримано (див. теорему 3.1) зображення власних значень оператора ,
та системи власних функцій цього оператора .
Лема 3.9. Оператор має такі властивості:
.
Доведення. Нехай .
Представимо вектор-функцію у вигляді ,
тому, якщо , то, узагальнюючи результати
леми 2.2, п.2.1.1, отримаємо .
Нехай , тоді розвинемо вектор-функцію
у ряд Фур’є за власними функціями оператора :
Підставимо отриманий ряд в , згідно леми 2.1, п.2.1.1 та означення
ортопроекторів отримуємо
Лема 3.9.доведена.
Теорема 3.5. Правильними є такі два твердження:
1) Точковий спектр оператора співпадає з точковим спектром оператора , .
2) Система власних функцій оператора ? повна та мінімальна в просторі .
Доведення. Побудуємо власні функції оператора у вигляді суми
де , .
Для маємо
Оскільки , то за лемою 3.9 отримуємо .
Тому,
.
Отже, вектор-функція є також власною функцією оператора .
Тобто,
Для побудуємо де виберемо у вигляді
де (3.24)
Невідомі коефіцієнти визначимо із співвідношення
, . (3.25)
Оскільки то згідно леми 3.9 маємо . Тому рівність (3.25) набирає вигляду
.
Тобто
.
В останнє співвідношеня підставимо ряд (3.24), отримаємо
Враховуючи ортонормованість системи в просторі , одержимо, значення коефіцієнта
:
Власні функції оператора будуть мати вигляд
де (3.26)
.
Визначимо оператори;
(3.27)
(3.28)
Тому .
Отже,
(3.29)
Звідси випливає, що існують оператори
Отже, система
породжена правими частинами співвідношень (3.27), має єдину біортогональну
систему , тобто є повною та мінімальною в просторі . Враховуючи, що система є
добутком систем та отримаємо твердження теореми 3.5. Теорема 3.5. доведена.
Лема 3.10. Оператор є неперервним відображенням з простору в простір .
Доведення. Враховуючи розвинення функції в ряд Фур’є за системою функцій :
для будь - якої функції з простору , де ? ортонормована база , покажемо оцінку
Отримаємо, що . Оператор є неперервним відображенням з простору в простір .
Лема 3.10. доведена.
Теорема 3.6. Система утворює базу Ріса в просторі .
Доведення. Вибираючи довільним чином та будь-які , розглянемо
Оцінимо
де ,.
Оскільки із леми 3.10 випливає, що , то .
Аналогічно для біортогональної системи
отримаємо
Таким чином, за означенням, система є базою Ріса в просторі .
Теорема 3.6. доведена.
Теорема 3.7. Система утворює базу Ріса в просторі .
Доведення. Оскільки система утворює базу Ріса в просторі , а система -
ортонормовану базу в , доведемо, що їх добуток є базою Ріса в просторі .
Розглянемо
. Оскільки система утворює базу Ріса в просторі , то за означенням,
отримаємо, що існують такі , що для довільних , виконується нерівність
Отже, ми отримали
Cистема , за означенням, утворює базу Ріса в просторі .
Теорема 3.7. доведена.
3.2.2 Існування і єдиність розв’язку збуреної задачі.
Розглянемо задачу (3.22), (3.23). Крайові умови (3.23) запишемо у вигляді
, (3.30)
Теорема 3.8. Для будь-яких існує єдиний розв’язок задачі (3.22), (3.30) і
виконується нерівність
, (3.31)
Доведення. Розв’язок задачі (3.22), (3.30) та функцію подамо у вигляді суми .
Задача (3.22), (3.30) розпадається на дві :
задачу визначення - "непарної"