РОЗДІЛ 2
УЗАГАЛЬНЕНІ КОНФЛЮЕНТНІ ГІПЕРГЕОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
2.1. -узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція
Запровадимо -узагальнену (за Райтом) конфлюентну гіпергеометричну функцію у
вигляді:
, (2.1)
де , , , , , , — класична гамма-функція (1.27), — функція Фокса-Райта [93].
— частинний випадок узагальненої функції Райта [131]:
, (2.2)
де , , , тут — множина комплексних чисел.
Зображення функції за допомогою інтегралу Мелліна-Бернса має вигляд [93]:
, (2.3)
де шлях інтегрування відокремлює всі полюси функції зліва і полюси справа; —
контур, розміщений в горизонтальній смузі, починається з точки йде до точки , ;
.
Якщо покласти у формулі (2.1), то отримаємо -узагальнену конфлюентну
гіпергеометричну функцію ; при матимемо класичну конфлюентну гіпергеометричну
функцію [4].
Теорема 2.1 (про зображення функції рядом). Якщо виконуються умови , , , , , ,
то справедлива формула:
, (2.4)
Доведення. Використавши зображення для [93]
(2.5)
і помінявши місцями операції інтегрування та підсумовування, що законно згідно
рівномірній збіжності інтегралу та абсолютній збіжності ряду, матимемо:
Дослідимо умови існування -узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції
в (2.4).
Теорема 2.2 (умови існування функції ). Нехай , , , , . Якщо , то ряд в (2.4)
абсолютно збігається для всіх .
Доведення. Ряд в (2.4) є степеневим рядом вигляду
, (2.6)
де
. (2.7)
Дослідимо асимптотичну поведінку при . Відповідно до формули Стірлінга для
гамма-функції [42]
, (2.8)
при матимемо
. (2.9)
Визначаючи радіус збіжності степеневого ряду (2.6), матимемо:
Оскільки при , , , , , , , , то з останньої рівності отримаємо:
Отже, радіус збіжності ряду (2.6) дорівнює , якщо або . Теорему доведено.
Наслідок. Якщо умови теореми 2 виконуються, то — ціла функція від порядку і
типу , , .
Дослідимо основні властивості -узагальненої конфлюентної гіпергеометричної
функції.
За допомогою зображення функції через ряд, використання властивостей , функцій,
законності перестановки операцій підсумовування та інтегрування можна одержати
низку співвідношень для функції . Мають місце наступні леми:
Лема 2.1. Якщо , , , , , то формули диференціювання для мають вигляд:
, (2.10)
, (2.11)
, (2.12)
, (2.13)
Лема 2.2. При умовах існування функції справедливі наступні співвідношення:
, (2.14)
, (2.15)
Лема 2.3 (узагальнення формул Koornwinder’а [99]).
Якщо , , , , то справедлива формула:
. (2.16)
Якщо , , , то маємо:
. (2.17)
Доведення. Доведемо (2.17). Виконаємо перетворення над інтегралом:
Лема 2.4 (інтегральні співвідношення для ). При умовах існування функції
справедливі співвідношення:
, (2.18)
, (2.19)
, (2.20)
. (2.21)
. (2.22)
2.2. -узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція
Розглянемо -узагальнену (за Райтом) конфлюентну гіпергеометричну функцію:
, (2.23)
де , можуть бути комплексними, , , , при ; та такі, що , — скінченні при .
Використовуючи відому формулу для -функцій при великих і , легко дослідити
збіжність ряду (2.23): радіус збіжності дорівнює , ряд абсолютно збігається для
всіх скінченних , функція — аналітична в усій -площині.
Лема 2.5 (Основне інтегральне зображення ). Якщо , , , то функцію можна подати
у вигляді:
(2.24)
або
. (2.25)
Доведення. (2.24) випливає з (2.23) після використання відомих формул:
, , , ;
(2.25) випливає з (2.24) при використанні підстановки .
Враховуючи (2.24), (2.25) і відповідні підстановки, можна отримати інші формули
інтегральних зображень для . Зокрема,
, (2.26)
. (2.27)
Дійсно, (2.26) випливає з (2.24) при використанні підстановки ; щоб отримати
(2.27) використовуємо підстановку: .
Лема 2.6 ( про узагальнення формул Koornwinder’а [99]).
Якщо , , , , то
. (2.28)
Якщо , , , то
. (2.29)
Доведення. Доведемо (2.28). Беручи до уваги рівномірну збіжність ряду (2.23),
маємо:
Застосовуючи підстановку та формулу [4]
(, , ),
отримуємо
Отже, маємо формулу (2.28).
Наслідок. При отримуємо вирази для класичної , а саме:
,
.
Використовуючи (2.25) і тотожність , маємо наступне функціональне
співвідношення для :
, (2.30)
Формули диференціювання і інтегрування для мають вигляд:
, (2.31)
. (2.32)
Сформулюємо ще деякі додаткові твердження про -узагальнену конфлюентну
гіпергеометричну функцію .
Теорема 2.3 (про інтегральні зображення ). При умові справедливі такі
зображення для -узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції :
, (2.33)
, (2.34)
, (2.35)
. (2.36)
Доведення випливає із основного інтегрального зображення функції (2.24) та
відповідних підстановок.
Теорема 2.4 (теорема додавання для ). Для -узагальненої конфлюентної
гіпергеометричної функції справедливі формули:
, (2.37)
, (2.38)
Доведення одержуємо із відповідних формул диференціювання для :
, (2.39)
(2.40)
та теореми Тейлора [31] про те, що, якщо — аналітична функція, ряд для якої
збігається при , то для маємо
. (2.41)
Теорема 2.5 (теорема множення для ). Для -узагальненої конфлюентної
гіпергеометричної функції справедливі формули:
, (2.42)
, (2.43)
Доведення випливає із відповідних формул диференціювання (2.38), (2.39) та
теореми Тейлора для [31]:
. (2.44)
Зауважимо, що, окрім формул (2.37), (2.38) і (2.42), (2.43) можна аналогічно
одержати низку інших співвідношень, якщо взяти за основу формули для виразів
, , ,
та інші.
2.3. Обчислення значень узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій
Дослідимо методику обчислення значень узагальнених конфлюентних
гіпергеометричних функцій; для цього проведемо порівняльний аналіз способів
обчислення значень гамма-функцій.
Як було показано вище, -узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функ