РОЗДІЛ 2
математичнІ моделІ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ В АЦП
ПОРОЗРЯДНОГО ВРІВНОВАЖЕННЯ ІЗ перерозподілом заряду
2.1 Математичні моделі перехідних процесів у конденсаторних матрицях на основі
НПСЧ
Базовими структурами конденсаторних матриць, що використовуються при побудові
АЦП із перерозподілом заряду є матриця вагового типу (див. рис. 1.3), матриця
драбинкового типу (див. рис. 1.4) та матриця комбінованого типу (див рис.
1.5).
Оскільки комутуючі елементи в сучасних АЦП із перерозподілом заряду
реалізуються на основі польових транзисторів, які мають кінцевий опір у
замкненому стані, то при побудові математичної моделі в першому наближенні
замінимо їх резисторами з фіксованим опором. Таким чином, схеми на рис. 1.3-1.4
набудуть вигляду R-C ланцюгів, для яких вільний струм у будь-якій гілці під час
перехідного процесу може бути зображений формулою [130]:
, (2.1)
де рk – корені характеристичного рівняння
i0k – початкове значення k-ї складової струму.
Зрозуміло, що саме значення рk і визначають тривалість перехідних процесів.
Саме тому доцільно дослідити, від чого залежить рk, як на них впливає вибір
основи числення, структури конденсаторної матриці тощо. Для знаходження рk
необхідно скласти характеристичне рівняння, яке можна отримати з виразу для
комплексного опору, замінивши jw на p. Скористаємося цим підходом для випадку
матриці вагового типу. Для цього перейдемо до схеми на рис. 2.1.
Zд, Z0, …, Zn-1 – комплексний опір і-тої гілки матриці, який розраховується за
формулою:
де Rj – активний опір j?го ключового елемента в замкненому стані,
Cj – ємність j-го конденсатора матриці.
Рис.2.1. Матриця вагового типу з комплексними опорами
Слід зауважити, що загальний вигляд рівняння залежатиме від того, на яку гілку
матриці подається опорна напруга. В загальному випадку характеристичне рівняння
для матриці вагового типу матиме вигляд [86]:
, (2.2)
де і – номер ключового елемента, який комутує Uоп.
Кількість дійсних коренів рівняння (2.2) в загальному випадку становитиме n,
причому значення коренів не залежатимуть від того, на яку гілку матриці
комутується Uоп. Однак у випадку, коли для двох або більше гілок матриці матиме
місце співвідношення Ck·Rk = Ci·Ri, тобто постійні часу гілок збігатимуться,
спостерігається поглинання коренів. Крайнім випадком є ситуація, коли
C0·R0 = C1·R1=...= Cn-1·Rn-1 = Cg·Rg=R·C.
Це приводить до максимального спрощення характеристичного рівняння, яке набуває
вигляду R·C·p+1=0, звідки .
Водночас слід зауважити, що випадок абсолютної узгодженості постійних часу з
практичної точки зору реалізувати неможливо через низку об’єктивних причин,
зокрема:
точність реалізації інтегральних конденсаторів є обмеженою і визначається
особливостями технологічного процесу;
опір ключових елементів визначається опорами стік-витік відкритого МОН
транзистора і суттєво залежить від поданої напруги;
діапазон номіналів Ci та Ri визначається роздільною здатністю АЦП і становить
тисячі разів, що також суттєво ускладнює досягнення стабільної постійної часу;
вплив температурних та часових чинників.
Зрозуміло, що тривалість перехідних процесів загалом буде обумовлюватися тими
складовими, що характеризуються найменшим за абсолютним значенням pk. З метою
визначення найвпливовіших компонентів перехідного процесу за допомогою програми
MathCad знайдемо корені рівняння (2.2) за умови різних вхідних чинників [85].
У таблиці 2.1 наведено результати розв’язків рівняння (2.2) для різних значень
основи системи числення та роздільної здатності за умови, що опори всіх
резисторів становлять 1кОм, а номінал ємності найменшого конденсатора 1пФ.
Номінал дорівнює С0, тому загальна кількість дійсних коренів становить n-1.
Значення коренів подано в , крім того всі корені є від’ємними числами, знак „-”
в таблиці не показано.
Таблиця 2.1
Значення розв’язків характеристичного рівняння (2.2)
a=2
a=1,8
a=1,6
p6
p5
p4
p3
p2
p1
p6
p5
p4
p3
p2
p1
p6
p5
p4
p3
p2
p1
0,750
0,777
0,812
0,363
0,804
0,419
0,824
0,494
0,849
0,179
0,391
0,836
0,230
0,446
0,851
0,305
0,518
0,871
0,089
0,194
0,409
0,858
0,127
0,245
0,463
0,870
0,190
0,321
0,534
0,886
0,044
0,096
0,203
0,422
0,875
0,070
0,135
0,255
0,475
0,884
0,118
0,199
0,330
0,544
0,898
0,022
0,048
0,101
0,210
0,432
0,889
0,039
0,075
0,141
0,262
0,484
0,896
0,074
0,124
0,205
0,338
0,553
0,907
Таблиця 2.2
Порівняння значень розв’язків повного та спрощеного характеристичних рівнянь
a=2
a=1,8
a=1,6
pсп
рп
pсп
рп
pсп
рп
0,750
0,750
0,00
0,777
0,777
0,812
0,812
0,00
0,375
0,363
0,03
0,432
0,419
0,03
0,508
0,494
0,03
0,187
0,179
0,04
0,240
0,230
0,04
0,317
0,305
0,04
0,094
0,089
0,05
0,133
0,127
0,05
0,198
0,190
0,04
0,047
0,044
0,06
0,074
0,070
0,05
0,124
0,118
0,05
0,023
0,022
0,04
0,041
0,039
0,05
0,077
0,074
0,04
Аналіз таблиці 2.1 показує, що збільшення роздільної здатності матриці
призводить до появи нової експоненційної складової, значення p якої приблизно в
б разів менше за попереднє. Це, зокрема, означає, що збільшення кількості
розрядів збільшує постійну часу перехідного процесу пропорційно бn.
З практичної точки зору найбільш цікаве те pk, що має мінімальне абсолютне
значення, тобто характеризує найтриваліший перехідний процес. Оскільки значення
найменшого pk визначається параметрами конденсаторів матриці, що мають
найбільшу ємність, було запропоновано спрощену форму виразу (2.2) таким чином,
щоб враховувати тільки вплив двох найважл
- Київ+380960830922