ГЛАВА 2
СОЗДАНИЕ ПЬЕЗОПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ С ПЬЕЗОЭЛЕМЕНТОМ В ЦЕПИ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ УСИЛИТЕЛЯ
ЗАРЯДА
Применению усилителей заряда отдается предпочтение в большинстве современных
виброметрических системах. Как уже отмечалось, пьезопреобразователи обладают
рядом достоинств, которые были описаны в первой главе. Рассмотрим
математическую модель пьезокерамического преобразователя.
2.1. Исследование математических моделей пьезопреобразователей с усилителем
заряда в цепи обратной связи
Рассмотрим схему пьезокерамического преобразователя изображенную на рис. 2.1.
[24]
Рис. 2.1. Пьезокерамический преобразователь с усилителем заряда
Входной каскад усилителей заряда состоит из операционного усилителя с ёмкостной
обратной связью. Операционный усилитель с конденсатором в цепи обратной связи
по существу является электронным интегратором, интегрирующим поступающий на его
вход электрический ток.
Исследуем далее схему пьезопреобразователя с усилителем заряда при традиционном
подключении пьезоэлемента с точки зрения теории автоматического управления рис.
2.2 [5].
Рис. 2.2. Структурная схема пьезопреобразователя с усилителем заряда
Здесь звено с коэффициентом передачи W1 соответствует преобразованию силы F,
действующей на пьезоэлемент, в механическое напряжение s; где Fm – действующая
сила, m – масса пьезоэлемента, Д – коэффициент затухания системы, Fp – частота
собственного резонанса, f – частота [24, 53,70]. Тогда,
. (2.1)
Звено W2 соответствует преобразованию механического напряжения в заряд q на
электродах пьезоэлемента. Так как q = dijDsS, то
W2 = q/Ds = dijS, (2.2)
где dij – пьезомодуль.
Звено W3(р) – преобразованию заряда q в ток Iq, который создает пьезоэлемент:
. (2.3)
Тогда, с учетом перехода в Лапласово пространство, получим:
, (2.4)
где р – оператор Лапласа.
Звено W4(р) соответствует преобразованию суммарного тока во входное напряжение,
поступающее на вход усилителя UВХ:
, (2.5)
где СS = СПЭ + СК + СВХ, СПЭ – емкость пьезоэлемента, СК – емкость
соединительного кабеля и соответствующих соединителей, СВХ – емкость входной
цепи усилителя заряда.
Передаточная функция звена W4(p) имеет вид:
. (2.6)
Звено W5 соответствует процессу усиления усилителя заряда:
. (2.7)
Звено W6(р) соответствует преобразованию выходного напряжения усилителя UВЫХ в
ток обратной связи IOC, протекающий через конденсатор обратной связи
операционного усилителя.
, (2.8)
где СS = СОС + СВЫХ, СОС – емкость конденсатора в цепи обратной связи
операционного усилителя, СВЫХ – емкость выходной цепи усилителя.
После преобразования, получим:
. (2.9)
Звено с коэффициентом передачи W7 соответствует преобразованию силы F,
действующей на пьезоэлемент, в механическое напряжение s :
, (2.10)
где h толщина пластины биморфного пьезоэлемента, E – модуль упругости материала
пластины, y – перемещение центра пластины зависящие от воздействия силы, ; R, r
радиус пластины биморфного пьезоэлемента соответственно. µ - коэффициент
Пуассона.
Звено W8 соответствует преобразованию механического напряжения в деформацию
биморфного пьезоэлемента:
. (2.11)
Передаточная функция всей системы примет вид:
2.12)
Зависимость выходного напряжения от частоты, рассчитанная с использованием
формулы (2.12), показана на рис. 2.3 в пакете Mathcad 11.
Рис. 2.3. Зависимость выходного напряжения от частоты пьезопреобразователя с
усилителем заряда
Для получения переходной характеристики воспользуемся формулой взаимосвязи
между частотными и переходными характеристиками [25, 66]:
h(t) = , (2.13)
где Re(W(p)) – вещественная составляющая частотной характеристики.
Рассчитана по формуле (2.13) переходная характеристика традиционного
пьезопреобразователя с биморфным пьезоэлементом представлена на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Переходная характеристика пьезокерамического биморфного пьезоэлемента
Из рис. 2.4 видно, что пьезоэлемент имеет колебательные свойства.
Недостатком описанного метода изучения прямого пьезоэффекта является
необходимость задания параметров, полученных экспериментальным образом
(например, резонансных частот), что не всегда является удобным при
теоретических расчетах. При этом, данная модель учитывает только механический
резонанс системы (механические колебания бруска), а антирезонанс (частота
параллельного резонанса, которая возникает из-за наличия параллельной цепи в
эквивалентной электрической схеме) на характеристике отсутствует.
Кроме того, данная модель не позволяет учитывать внутренне сопротивление
пьезоэлемента, которое является главным фактором, при исследовании
пространственно энергосиловой структуры (ПЭСС).
Таким образом, для исследования ПЭСС в пьезокерамическом пьезоэлементе
необходимо учесть эквивалентную электрическую схему пьезоэлемента [19], которая
показана на рис. 2.5.
Рис. 2.5. Эквивалентная схема пьезоэлемента:
СПЭ – межэлектродная емкость; CK, LK, RК – динамические емкость, индуктивность
и сопротивление, LП, RП – параметры описывающие свойства пластины
Для этого воспользуемся методом электромеханических аналогий (здесь
эквивалентом силы является электрическое напряжение, а эквивалентом см