РОЗДІЛ 2
ОЦІНКИ СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ ГІБРИДНИХ СИСТЕМ З ЧАСОВИМ ПЕРЕМИКАННЯМ
Відомо, що для лінійної стаціонарної системи
, ,
з асимптотично стійкою матрицею завжди існує додатно визначена матриця , яка є
розв’язком матричного рівняння Ляпунова
Тут - довільна додатно визначена матриця. Справедливі двосторонні нерівності
де , - найбільше і найменше власні числа відповідних симетричних, додатно
визначених матриць. І для розв’язків системи справедливі двосторонні оцінки
У цьому розділі розглядатимуться логіко-динамічні системи з часовим
перемиканням. Функція Ляпунова для них будується у вигляді композиції окремих
функцій Ляпунова, побудованих для підсистем кожного часового інтервалу. Завдяки
„зшиванню” цих функцій в точках перемикання одержана оцінка розбіжності
розв'язків в кінцевий момент часу.
Детально розглянуті логіко-динамічні системи, що складаються з лінійних
підсистем. Аналогічні оцінки одержані для систем, які складаються з різницевих
рівнянь. Крім того, одержана оцінка стійкості неавтономної системи.
2.1. Верхні оцінки стійкості лінійних гібридних систем
Нехай логіко-динамічна система представлена набором підсистем, які являють
собою лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами
, , . (2.1)
Кожна з підсистем описує динаміку збурення на заданому скінченному проміжку
часу , , . Підсистеми можуть бути як стійкими, так і нестійкими. Припустимо, що
початкове збурення знаходиться в –околі положення рівноваги системи, тобто .
Оцінимо величину відхилення розв’язку логіко-динамічної системи (2.1) від стану
рівноваги в момент . Оскільки розглядаються скінченні проміжки часу, та при
перемиканні фазові координати не мають розривів, тобто
, (2.2)
та на окремих ділянках підсистеми є системами лінійних диференціальних рівнянь
зі сталими коефіцієнтами, то, враховуючи неперервну залежність розв’язків від
початкових умов, всі розв’язки, які виходять з –околу, не залишать – окіл. І
навпаки, для довільного існує таке , що , як тільки . Задача полягає в
отриманні оцінок стійкості на кінцевому проміжку часу, тобто обчисленню цих
величин. При дослідженні використовується метод функцій Ляпунова. Оскільки
підсистеми лінійні, то використовуються функції квадратичного вигляду.
2.1.1. Метод функцій Ляпунова, побудованих на інтегралах підсистем
Для лінійної системи зі сталими коефіцієнтами вигляду
загальний розв’язок задається формулою , де матричний експоненціал має вигляд
матричного ряду
Динаміка такої системи може оцінюватися квадратичною функцією Ляпунова, яка
побудована на основі квадрату інтеграла системи
або у вигляді неавтономної квадратичної форми
Оскільки функція побудована на основі інтегралів системи, то вона найточніше
описує динаміку процесу. Область є еліпсоїдом, який в початковий момент часу
являє собою кулю , що деформується з часом уздовж розв’язків системи.
Теорема 2.1. Нехай початковий стан логіко-динамічної системи (2.1) задовольняє
умові . Тоді при виконуватиметься нерівність
, (2.3)
де
Доведення. Розглянемо першу ділянку динаміки системи (2.1), тобто підсистему
. (2.4)
В якості функції Ляпунова виберемо
Для неї виконується двостороння нерівність
Для повної похідної функції в силу підсистеми (2.4) виконується тотожність
Тому для довільного : функція на траєкторіях є сталою, тобто
Звідси
І для першої ділянки маємо нерівність
Розглянемо другу ділянку, тобто підсистему
. (2.5)
Функцію Ляпунова на цій ділянці вибираємо у вигляді
Для неї справедлива двостороння нерівність
Для повної похідної функції в силу підсистеми (2.5) також виконується
Тоді матиме місце
Звідси одержуємо
Для другої ділянки часу одержимо нерівність
Оскільки у момент перемикання виконуються умови неперервності (2.2), то
Продовжуючи процес далі, одержимо нерівність
, (2.6)
тобто отримали твердження теореми.
2.1.2. Метод “зшивання” функцій Ляпунова підсистем
При доведенні теореми 2.1 в моменти перемикань , накладається достатньо
„жорстке” обмеження. Це – вимога до поверхні рівня -ї функції Ляпунова , яка
повинна бути еліпсом в кінці -го кроку. Цей еліпс знаходився у момент
перемикання всередині поверхні рівня -ї функції Ляпунова , яка була колом на
початку - го кроку.
Розглянемо більш „слабкий” випадок, коли поверхня рівня -ї функції Ляпунова на
-м кроці є еліпсом, який співпадає у момент перемикання з еліпсом попередньої
функції Ляпунова.
Теорема 2.2. Нехай початковий стан логіко-динамічної системи (2.1) задовольняє
умові . Тоді при виконується нерівність
, (2.7)
де
Доведення. Аналогічно доведенню попередньої теореми, для першої ділянки в
якості функції Ляпунова виберемо
Оскільки на першій ділянці виконується
то
. (2.8)
Якщо для першої ділянки функцію Ляпунова одержуємо використовуючи квадрат
інтегралу, тобто
то для другої ділянки будуємо „деформовану” функцію Ляпунова вигляду
де – невироджена матриця зі сталими коефіцієнтами. Умова „зшивання” у момент
перемикання визначає матрицю таким чином
Звідси
. (2.9)
І на другій ділянці функція Ляпунова має вигляд
де
Оскільки для функції Ляпунова на другій ділянці також виконуються нерівності
то
Враховуючи умови „склеювання” (2.9) і (2.8), одержимо
Звідси маємо
Продовжуючи процес далі, одержимо
де
тобто отримуємо твердження теореми.
Наслідок 2.1. Для того, щоб при мала місце нерівність доста
- Київ+380960830922