РАЗДЕЛ 2
ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ С ИМПЕДАНСНЫМИ ГРАНИЦАМИ
Детальные исследования характеристик зеркальных и линзовых антенн [12, 16]
показывают, что эффективными облучателями для этого типа антенн в широкой
полосе частот являются открытые концы линий передачи, поддерживающие
распространение гибридных волн [25, 44]. Для гибридных волн характерно
одновременное присутствие продольных составляющих электрического и магнитного
полей [7]. Гибридные волны могут распространяться в волноводных структурах с
импедансной внутренней границей в отличие от обычных волноводов, стенки которых
в первом приближении можно считать идеально проводящими.
Характеристики линий с импедансными границами исследовались в высокочастотном
приближении для ( - волновое число свободного пространства, - внутренний радиус
волновода) преимущественно численными методами из- за громоздкости выражений
для дисперсионного уравнения [45 - 47]. С использованием граничных условий
импедансного типа, когда поле направляемых волн рассматривается как плоская
волна, падающая на локально плоскую границу раздела, найдены асимптотические
решения дисперсионного уравнения для круглых волноводов класса «полый
диэлектрический канал»[26], справедливые при малых углах скольжения парциальных
волн Бриллюэна. Результаты расчетов дисперсионных кривых низших собственных мод
двухслойного диэлектрического волновода в круглом симметричном экране получены
для ограниченного диапазона параметров линий графоаналитическим методом [31].
Постоянные распространения и коэффициенты затухания мод в линиях передачи с
импедансными границами как элементах широкодиапазонных поглощающих сред также
рассчитывались численными методами [48].
Однако, для расчета полей облучателей эффективных многодиапазонных зеркальных
антенн, проводимых в несколько этапов с последовательным уточнением решений,
необходимы аналитические представления характеристик облучателей: формы
главного лепестка, уровней кроссполяризованного излучения, полосы частот, в
пределах которой параметры первичной антенны сохраняют свои значения. Исходными
данными для таких расчетов являются величины критических частот и фазовых
постоянных волн, поддерживаемых линией передачи с физически реализуемыми
параметрами. Значения критических частот и фазовых постоянных следуют из
решений дисперсионных уравнений для выбранного вида линии передачи.
В разделе представлены:
-дисперсионные уравнения для цилиндрических регулярных волноводов с
импедансными границами;
-результаты численных решений уравнений;
-методика определения типа волны по знакам производных результирующих функций;
-приближенные решения дисперсионных уравнений для малых углов скольжения
парциальных волн и околокритических частот;
-относительные погрешности аппроксимаций функций поверхностных импедансов и
приближенных решений.
Анализ дисперсионных уравнений линий передачи с импедансными границами проведем
в общем виде для цилиндрических волноводных структур с частичным по поперечному
сечению заполнением, сопоставляя их характеристики с параметрами круглого
регулярного волновода и волновода с гофрированными внутренними стенками.
Результаты, изложенные в разделе 2, приведены в работе [55].
2.1. Электромагнитные поля в линии передачи с импедансными границами
Рассмотрим круглый регулярный волновод с идеально проводящими стенками,
внутреннее пространство которого состоит в общем случае из двух аксиальных
цилиндров: диэлектрического стержня радиуса из диэлектрика с параметрами и
диэлектрического цилиндра с внешним радиусом (параметры внешнего диэлектрика )
(рис.2.1).
Рис. 2.1. Система координат задачи
Для цилиндрической системы координат , постоянной распространения и закона
изменения поля вдоль оси для прямой волны определим компоненты полей
распространяющихся волн через электрический и магнитный векторы Герца [45]:
(2.1)
где - единичный вектор, направленный вдоль оси , - постоянная распространения
электромагнитной волны в волноводе, - электрическая и магнитная скалярные
потенциальные функции.
Для внутренней области волновода потенциальные функции выразим через функции
Бесселя первого рода -го порядка
(2.2)
а для внешнего диэлектрика () - через функции Ханкеля -го порядка первого и
второго рода [7]
(2.3)
Здесь - постоянные, - функция Бесселя первого рода - го порядка, - произвольная
начальная фаза, - поперечные волновые числа (мера неоднородности поля в первом
и во втором диэлектриках соответственно [42]).
Поперечные волновые числа , волновое число свободного пространства и постоянная
распространения волны в линии передачи связаны характеристическими
соотношениями
для (2.4)
Поля в волноводе определим с помощью известных соотношений, связывающих
напряженности электрического и магнитного полей с векторами Герца [7]:
(2.5)
Компоненты электромагнитной волны в цилиндрической системе координат
имеют вид
Подставив значения производных векторов Герца по цилиндрическим координатам,
получим составляющие электрического и магнитного полей во внутреннем
диэлектрике ()
(2.6)
и во внешнем диэлектрическом слое ()
(2.7)
Здесь - производные функций Ханкеля первого и второго рода - го порядка.
Из равенства тангенциальных составляющих электрического и магнитного полей на
границе диэлектриков получим выражения:
Из граничных условий на металлической стенке внешнего экрана имеем:
.
После несложных преобразований, сократив число неизвестных коэффициентов до
двух, получим систему уравнений относительно коэффициентов
(2.8)
где - волновое сопротивление свободного пространства, ,
и - импеда