РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ ОДНО- ТА
ДВОЛАНКОВОГО МАЯТНИКІВ
2.1. Узагальнена математична модель одноланкового
перевернутого маятника
Розрахункова схема перевернутого одиночного маятника, яка зображена на рис.
2.1, складається з невагомого стержня довжини і матеріальної точки маси .
Верхній кінець маятника пружно закріплений за допомогою горизонтальної
циліндричної пружини з жорсткістю . В точці опори знаходиться пружно-в’язкий
шарнір. Конфігурація маятника визначається кутом , який приймемо за незалежну
координату. Для декартових координат точки маємо
; (2.1)
До маятника прикладена слідкуюча сила , яка є несиметричною відносно стержня .
Кут, який сила утворює з вертикаллю, позначимо через , тобто цей кут має дві
складові: „статичну” та „динамічну” . Коефіцієнт =const – параметр орієнтації
слідкуючої сили. Також на маятник діють: сила ваги матеріальної точки ,
відновлююча сила , стабілізуючий момент . Віртуальна робота сили ваги має
наступний вираз
Рис. 2.1. Розрахункова схема перевернутого одноланкового
математичного маятника
де
. (2.2)
Віртуальна робота відновлюючої сили це
,
де
. (2.3)
Віртуальна робота слідкуючої сили є
де
. (2.4)
Для того, щоб врахувати всі можливі характеристики пружних елементів, введемо
позначення
, (2.5)
Для пружини з жорсткими характеристиками маємо
. (2.6)
Для пружин з м’якими характеристиками
. (2.7)
Для пружин з лінійними характеристиками
, (2.8)
де – коефіцієнт в’язкого тертя в шарнірі ;
– гранично можливий хід горизонтальної пружини;
– гранично можливий хід спіральної пружини в шарнірі ;
– граничне значення відновлюючої сили;
– граничне значення відновлюючого моменту в шарнірі ;
– жорсткість горизонтальної пружини;
– жорсткість пружного елемента в шарнірі ;
Для того, щоб скласти рівняння руху маятника, використаємо рівняння Лагранжа
другого роду. Для кінетичної енергії маятника
З урахуванням (2.1) маємо наступний вираз
(2.9)
Таким чином,
. (2.10)
З урахуванням (2.5) рівняння збуреного руху маятника приймає вигляд:
(2.11)
Приведена математична модель перевернутого одиночного маятника є узагальненою,
оскільки в рівнянні (2.11) враховано як кутовий ексцентриситет , так і лінійний
ексцентриситет . Крім того, коефіцієнти впливу дозволяють розглянути всі
можливі типи пружних елементів. При цьому обидва елементи можуть мати
характеристики одного типу (жорсткі при ; м’які при ; лінійні при ) або різних
типів (всього 6 можливих комбінацій).
Для зменшення числа параметрів в рівнянні (2.11) перейдемо до безрозмірних
величин. Приймемо за базисні параметри масу матеріальної точки , довжину
стержня , жорсткість пружного елемента в точці . Безрозмірні величини позначимо
рискою над відповідними параметрами.
, , , ,
, , , ,
, , ,
; ; (2.12)
;
;
Диференціальне рівняння руху маятника в безрозмірній формі має вигляд
, (2.13)
де
(2.14)
Позначимо і зведемо систему диференціальних рівнянь руху маятника до нормальної
форми Коші:
(2.15)
де .
2.2. Узагальнена математична модель перевернутого
дволанкового маятника
Розрахункова схема перевернутого дволанкового математичного маятника під дією
слідкуючої сили зображена на рис. 2.2. Верхній кінець маятника
пружнозакріплений за допомогою горизонтальної пружини жорсткістю , в точках і
маємо дві спіральні пружини з жорсткостями і відповідно. Точки і матеріальні з
масами і , довжини невагомих стержнів і приймемо і відповідно. Кут , який
слідкуюча сила утворює з вертикаллю, має дві складові: „статичну” і „динамічну”
. Коефіцієнт – параметр орієнтації слідкуючої сили. Узагальненими координатами
маятника є кути і відхилення ланок маятника від вертикалі. Абсциси та ординати
точок і в системі декартових прямокутних координат мають такі вирази:
; ; (2.16)
; .
Для того, щоб скласти систему диференціальних рівнянь руху маятника,
використаємо рівняння Лагранжа другого роду:
Рис. 2.2. Розрахункова схема дволанкового перевернутого
математичного маятника
(=1, 2), (2.17)
де Т – кінетична енергія маятника, яка дорівнює
Враховуючи (2.16), маємо наступний вираз:
(2.18)
При відхиленні ланок маятника від вертикалі пружні елементи деформуються,
внаслідок цього з’являються відновлюючі сили і моменти сил. Отже, маятник
перебуває під дією сил ваги і матеріальних точок і , відновлюючих сил та
моментів сил і слідкуючої сили . Віртуальна робота сил ваги має такий вираз:
де
(2.19)
Віртуальна робота відновлюючої сили це
де
(2.20)
Віртуальна робота слідкуючої сили є
тобто
(2.21)
Таким чином,
(2.22)
Кожен пружний елемент дволанкового маятника може приймати або жорсткі
характеристики, або м’які, або лінійні. Відповідні величини будемо позначати
індексами h, s, l (перші букви