РОЗДІЛ 2
МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ІДЕАЛЬНОГО РОТОРА З УРАХУВАННЯМ АЕРОДИНАМІЧНОЇ ЯКОСТІ ЕЛЕМЕНТУ ЛОПАТІ
Вихідними положеннями для створення математичної моделі ідеального ротора з урахуванням аеродинамічної якості є основні положення розширеної теорії ідеального ротора У.Хюттера [154,167], викладені в п.1.4 та основи теорії елементу лопаті Г.Глауерта [21], викладені в п.1.6.
В наведеному розділі досліджуються плани сил та швидкостей на елементі активної поверхні ідеального ротора, яка утворена нескінченною кількістю нескінченно вузьких лопатей з заданою аеродинамічною якістю профілю К. Вважатиметься, що елемент лопаті рухається перпендикулярно до напряму набігаючого однорідного потоку V0.
При цьому також умовно вважається, що гальмування потоку в площині ротора залишається однорідним, а величина кута установки лопаті ?, та коефіцієнта покриття ? дорівнюють такої величини, що забезпечують максимально можливу величину коефіцієнту потужності СР. Такий ротор надалі будемо називати геометрично досконалим, або оптимізованим ротором.
Наведена математична модель ідеального геометрично оптимізованого ротора буде застосована для опису робочого режиму, та режимів холостого ходу і пуску.
2.1/ Плани сил та швидкостей на елементі лопаті ротора
Розглянемо план сил та швидкостей на елементі лопаті, побудований згідно розширеної теорії ідеального ротора (рис.1.4.3, п. 1.4). Згідно формули (1.4.36) вектор сумарної аеродинамічної сили R перпендикулярний до вектора сумарної швидкості набігаючого потоку W, що може мати місце лише коли відсутня аеродинамічна сила лобового опору D профілю лопаті, тобто аеродинамічна якість К профілю лопаті вважається нескінченною.
Задача полягає у врахуванні кінцевої величини аеродинамічної якості профілю лопаті К у планах сил і швидкостей, для того, щоб підвищити точність розрахунку аеродинамічних та граничних характеристик реальних роторів вітродвигунів.
Для зручності пояснень розташуємо поруч плани сил та швидкостей на елементі лопаті (рис.2.1.1) для випадків, коли аеродинамічна якість К має нескінченну (а) та кінцеву величину (б).
В обох випадках вектори сил В, S та R одинакові, що обумовлено однаковими значеннями коефіцієнтів гальмування а і b, співвідношення між якими визначається за формулою (1.4.15). Однакові також вектори швидкості набігаючого потоку V0.
Але у випадку б), за рахунок додавання аеродинамічної сили лобового опору D на елементі лопаті, виникає відхилення аеродинамічної підйомної сили L на кут ? від вектора сумарної сили R.
а) б)
Рис.2.1.1. Плани сил та швидкостей на елементі лопаті:
а) при К=?; б) при К??
При цьому вектор L залишається перпендикулярним до вектора сумарної швидкості W, що призводить до трансформації плану швидкостей: зменшується швидкість руху елементу лопаті з V0z до V0zК і зменшується величина сумарної швидкості потоку з W до WК з відповідним збільшенням кута ?WК його підходу до площини руху елемента лопаті:
?WK = ?W + ?, (2.1.1)
Величина кута ? пов'язана з величиною аеродинамічної якості К співвідношенням [34, 55]:
К = ctg ? = L / D, (2.1.2)
звідки ? = arctg K-1 (2.1.3)
З рис.2.1.1 а) витікає: tg?W =(1 - a)/(z + b) = b/a, (2.1.4)
і з урахуванням (2.1.1...2.1.4) можна визначити tg?WK:
tg?WK= tg(?W + ?) = (tg?W+tg?)/(1-tg?Wtg?) = (bK+1)/(aK-b). (2.1.5)
Величину кута ?WK підходу сумарного потоку W до активної поверхні можна визначити з трикутника швидкостей (рис.2.1.1. б)):
?WK = arcsin[(1-a)/[(1-a)2+(zК+b)2]1/2]. (2.1.6)
З іншого боку, з плану швидкостей (рис.2.1.1. б)) виходить:
tg?WK =(1 - a)/(zK + b); (2.1.7)
З рис.2.1.1.б) також видно, що нове значення швидкохідності zK менше, ніж попереднє z, яке фігурує на схемі (рис.2.1.1. а).
З системи рівнянь (2.1.5 i 2.1.7) витікає:
(1 - a)/(zK + b) =(bK+1)/(aK-b), (2.1.8)
звідки: zK = (aK-b)(1-a)/(bK+1)-b. (2.1.9)
Таким чином визначено, як впливає кінцеве значення аеродинамічної якості К елементу лопаті на величини сил та швидкостей. Звідки постає можливість розгляду режимів роботи елементу лопаті ротора вітроустановки з урахуванням аеродинамічної якості К.
2.1.1. Робочий режим. В робочому режимі елемент лопаті ротора вітроустановки здійснює перетворення кінетичної енергії потоку в механічну енергію власного руху під дією робочого зусилля S (рис.2.1.1).
В цьому режимі ротор працює з максимально можливим значенням коефіцієнта потужності при номінальній (оптимальній) швидкохідності, тобто, коефіцієнт потужності CP має позитивне значення, що і відрізняє робочий режим від режимів холостого ходу і пуску.
Визначимо основні параметри ідеального ротора вітроустановки з урахуванням аеродинамічної якості профілю лопатей К??. Відповідно з (1.4.21), нове значення коефіцієнта потужності буде:
CP = 4 b zК (1-a), (2.1.10)
де zК визначається за формулою (2.1.9) (рис.2.1.2).
Величина коефіцієнта лобового тиску СВ також визначається за відомою формулою (1.4.28) [11], але не залежатиме ні від аеродинамічної якості К, ні від швидкохідності z, та коефіцієнта b.
Визначимо величину коефіцієнту профільних втрат СК, як різницю між значеннями коефіцієнтів потужності СР, визначеними без урахування К (1.4.21) і з урахуванням К (2.1.10):
CK = 4 b (1-a)2[a/b