РАЗДЕЛ 2
УЧЕТ НАБУХАНИЯ ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛИТ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
2.1 Расчет фундаментных плит на многослойном основании
Расчет плит произвольного очертания на многослойном деформированном основании, особенно с учетом возможного набухания отдельных слоев, вызывает большое затруднение даже при использовании вычислительных комплексов типа SCAD, Лира и др., работающих на базе МКЭ. Часто из-за больших размеров задачи не удается смоделировать основание объемными конечными элементами. В то же время использование в программах двупараметрического основания типа Власова - Леонтьева или Пастернака не позволяет хорошо решить возникшую контактную задачу из-за довольно приблизительного обоснования параметров этого основания, тем более, что они определены без учета интенсивности нагружения и жесткости плиты.
Представление работы основания в виде упругих пружин в углах конечномерной модели также вызывает затруднение при назначении жесткостей этих пружин, так как их жесткость зависит от величины реакции в пружинах. Кроме того реакция пружины по действию на основание является сосредоточенной силой в точке, от нее - напряжения и перемещения на поверхности основания обращаются в бесконечность.
Построим алгоритм расчета фундаментной плиты на деформируемом основании, лишенный перечисленных недостатков, и основанный на МКЭ. В качестве расчетной схемы принимаем тонкую плиту в рамках гипотезы Кирхгофа - Лява. Основание - линейно деформированное слоистое полупространство. Плиту моделируем в общем случае треугольными конечными элементами с тремя степенями свободы в каждом узле.
Связь плиты с основанием осуществляем пружинами в узлах, работающих только на сжатие и не работающих на растяжение.
Вертикальные напряжения в массиве основания от реакций в пружинах, вне данной пружины, определяем по формуле[146]:
?z(nk) = -Knk , (2.1)
Knk - коэффициент (Knk = Kkn), принимающий значение
Knk = - , (2.2)
rnk - расстояние между пружинами (узлами) rnk = rkn
z - расстояние от поверхности основания.
Рис.2.1 - Нумерация слоев основания. Н - размер сжимаемой толщи основания.
Вертикальные перемещения в массиве основания в условном слое "m" от реакции Rk под пружиной n определяем по формуле [146]:
. (2.3)
Здесь Wnkm - вертикальные перемещения на глубине hm под пружиной "n" от реакции в пружине "k" .
Em - модуль деформации слоя "m",
?m - коэффициент Пуассона слоя "m",
hm - расстояние от поверхности основания до нижней границы слоя "m".
, (2.4)
?nk(m)( hm) - коэффициент влияния для перемещений основания.
Вертикальные перемещения в массиве основания в слое "m-1" от реакции Rk под пружиной n соответственно будут:
, ( 2.5)
где Em-1 - модуль деформации слоя "m-1",
?m-1 - коэффициент Пуассона слоя "m-1",
hm-1 - расстояние от поверхности основания до верхней границы слоя "m".
. ( 2.6)
Уменьшение толщины слоя "m" от реакции пружины "k" по напряжению "n" будет равно:
. (2.7)
Суммарные перемещения слоистого основания под пружиной "n" от реакции Rk будет равно:
, (2.8)
кроме k = n
здесь N - количество узлов (пружин) конечноэлементной модели плиты;
К(m) - количество слоев грунтового основания, принимаемого в расчете, и определяемого по нижней границе сжимаемой толщи;
?nk = - относительная величина реакции пружины "k" по сравнению с реакцией в пружине "n".
В сумму (2.8) не входит перемещение под пружиной "n" от реакции в пружине Rn. Это связанно с тем, что при z=0 это перемещение обращается в бесконечность.
Для выхода из этой ситуации реакцию Rn представим равномерно распределенной нагрузкой на некотором круге вокруг угла "n". Радиус круга согласуем с размерами конечных элементов, примыкающих к узлу "n" (рис.2.2). Площадь одного конечного элемента "i", на которой происходит распределение реакции Rn, равна площади 2-х треугольников, показанных на рис. 2 штриховкой. Она равна [15] ri (pi-ai), (2.9)
где ri - радиус вписанной окружности;
pi - полупериметр треугольного элемента "i",
ai - длина противоположной стороны треугольника "i".
Собрав такие площади для всех элементов, окружающих узел "n" и аппроксимируя эту площадь кругом, получим для радиуса круга
, (2.10)
здесь rкр - радиус круга на котором равномерно "размазывается" реакция Rn ;
Кn - количество конечных элементов, примыкающих к узлу "n".
Рис.2.2 Представление реакции Rn в виде равномерно распределенной нагрузки на некотором круге вокруг угла "n"
Таким образом равномерно распределенная нагрузка вокруг узла "n", действующая на основание будет равна:
. (2.11)
Для крайних и угловых узлов конечные элементы не замыкают окружность вокруг узла "n". Поэтому радиус круга, на котором происходит распределение давления, можно определить по формуле[15]:
,
где , . (2.12)
Используя соотношения для qn и rкр получаем для перемещений Wnnm выражение:
(2.13)
здесь
, (2.14)
Соответственно для слоя "m-1":
, ( 2.15)
(2.16)
Для крайних и угловых узлов величины и принимает значение:
, (2.17)
.