РОЗДІЛ 2
ТЕОРЕТИЧНІ ПЕРЕДУМОВИ РОЗРОБКИ МЕТОДУ КОНТРОЛЮ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ МАГІСТРАЛЬНИХ ТРУБОПРОВОДІВ.
2.1 Вибір математичного апарату моделювання процесу деформування ділянки трубопроводу за результатами контролю форми перерізів на зовнішній поверхні труби.
Ідея методу моделювання процесу деформування ділянок трубопроводу полягає в використанні для знаходження компонент вектора переміщень принципу можливих переміщень [72, 73], який можна записати наступним чином:
, (2.1)
де - можлива робота зовнішніх сил(об'ємних та поверхневих) на деякому можливому переміщенні; - можлива робота внутрішніх сил, що являє собою приріст потенційної енергії на тому ж переміщенні з оберненим знаком.
При цьому можлива робота зовнішніх сил (- об'ємні, - поверхневі сили) на можливих переміщеннях обчислюється за формулою
(2.2)
Оскільки варіювались лище переміщення , а поверхневі та об'ємні сили залишаються сталими, то варіацію можна винести з-під знаків інтегралів:
. (2.3)
Приріст потенційної енергії можна знайти за формулою
, (2.4)
де - питома потенційна енергія.
На основі виразів (2.3) і (2.4) записують:
. (2.5)
Вираз у дужках - це робота зовнішніх і внутрішніх сил, прикладених до тіла. Ця величина з оберненим знаком є потенційною енергією системи зовнішніх сил, які діють на пружне тіло:
. (2.6)
Тоді вираз (2.5) матиме вигляд
. (2.7)
З виразу (2.7) випливає, що в пружній системі, яка перебуває під впливом заданих зовнішніх сил при різноманітних комбінаціях переміщень насправді відбуваються такі переміщення, що для любого можливого відхилення від положення рівноваги варіація повної енергії системи дорівнює нулю. З усіх можливих переміщень пружнього тіла переміщення, що задовільнятимуть умови стійкої рівноваги, нададуть потенційній енергії системи найменшого значення:
. (2.8)
Одже, дійсна форма рівноваги тіла відрізняється від усіх можливих форм тіла тим, що для неї повна енергія системи має найменше значення.
Враховуючи, що в процесі деформування ділянки труби лінійної частини магістрального трубопроводу конфігурація її перерізів може набути довільної форми, для опису оберемо методику, запропоновану в [67].
За методикою [67] приймемо для радіус-вектора довільної точки труби наступний вигляд:
(2.9).
Тут: - радус-вектор де-якої точки, що належить верхній твірній трубопроводу і лежить в розглядуваному перерізі?
- діаметр трубопроводу?
- вектори нормалі, бінормалі та дотичної до верхньої твірної .
- де-які функції, що характеризують переміщення та деформації тіла, і на які накладено додаткові умови що визначаються формою тіла [67]. Функція характеризує зміну координати точки тіла труби вздовж його радіуса? функція характеризує зміну координати по куту , таким чином описується кручення? функція характеризує переміщення точки вздовж осі , при цьому можна враховувати деформацію плоских перерізів.
Для моделювання тіла труби в якості системи відліку введемо деяку праву систему координат в якої вісь співпадає з віссю розглядуваної труби. В тому випадку, коли ставиться вимога виконання гіпотези плоских перерізів, вважається, що . Тому в якості функцій, що характеризують геометрію системи виберемо наступні?
(2.10)
тут - радіус-вектор верхньої твірної труби, зафіксованої у нульовий момент часу?
і - нормаль і бінормаль для відповідної твірної труби?
- функція, яка передбачає можливість кручення труби як одного цілого в межах кожного довільного перерізу труби.
Нехай в два моменти часу задано координати будь-якої точки досліджуваного об'єкта, тобто, побудовано його тривимірну параметризацію.
Для ділянки трубопроводу без дефектів форми початковим, у розглядуваній системі координат, буде подання труби у вигляді циліндра з заданою довжиною та товщиною стінки (рисунок 2.1):
(2.11)
де , , - циліндричні координати;
- довжина досліджуваної ділянки трубопроводу;
, - внутрішній та зовнішній радіуси трубопроводу.
Рис 2.1 - Система координат і фрагмент труби в початковий
момент часу.
В контрольний момент часу згідно (2.10) для параметризації ділянки записано наступні співвідношення:
(2.12)
де - координати точки труби?
- координати верхньої твірної труби?
?
?
та - координати нормалі і бінормалі для верхньої твірної труби що обчислюються, наприклад, за формулами тригранника Френе:
(2.13).
У випадку, якщо початкова конфігурація форми перерізу відома, і вона відрізняється від колової, замість подання (2.11) можна використати подання (2.12).
За відомою методикою [67], маючи представлення координат і (2.11) і (2.12), знаходяться компоненти векторів локального базису ?
? ? (2.14)
де .
За (2.14) знаходяться компоненти метричих тензорів?
, , (2.15)
тут і далі .
За відомими компонентами метричних тензорів (2.15) знаходяться компоненти тензорів деформацій?
(2.16).
Потім знаходяться коваріантні та контраваріантні компоненти тензора напружекнь з використанням закону Гука для пружньодеформованого тіла, який для ізотропного тіла записується у формі?
- для коваріантних компонент?
? (2.17)
- для контраваріантних компонент?
. (2.18)
В формулах (2.17), (2.18) використовується величина першого інваріанта тензора деформацій, яка визначається за формулою:
, (2.19)
та - параметри Ламе, які обчислюються за формулами: