РАЗДЕЛ 2
РАЗРАБОТКА МЕТОДА И АЛГОРИТМОВ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ АЛГЕБРОГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ КОДАМИ НА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ
Эффективным средством повышения достоверности передачи данных в телекоммуникационных системах и сетях является помехоустойчивое кодирование [4, 14, 19, 38, 47, 55, 94, 112]. Перспективным направлением его развития являются коды, возникающие на алгебраических кривых (алгеброгеометрические коды). Использование алгеброгеометрических кодов в каналах с независимыми и группирующимися ошибками позволяет получить энергетический выигрыш от кодирования и значительно снизить вероятность ошибочного приема дискретных сообщений [47, 49, 51, 52, 119, 121]. В тоже время, методы построения алгеброгеометрических кодов исследованы для кривых, заданных в проективном пространстве Р2 неприводимым однородным уравнением от трех переменных [14, 47, 51, 52, 74, 75]. Этот подход позволяет строить простые схемы кодирования и декодирования алгеброгеометрических кодов, длина которых над конечным полем GF(q) не превышает числа точек плоской кривой [22, 47, 51, 52, 58]. Перспективным направлением дальнейших исследований является разработка методов построения алгеброгеометрических кодов для длины
n > q2, т.е. кодов на пространственных кривых, задаваемых, например, в проективном пространстве Р3 совместными решениями совокупности двух однородных уравнений от четырех переменных.
В данном разделе рассматриваются основные положения алгебраической геометрии, необходимые для конструирования алгеброгеометрических кодов, вводятся основные термины и определения. Исследуется общая конструкция алгеброгеометричсеких кодов как линейных систем, возникающих на проективных алгебраических кривых. Разрабатывается метод и практические алгоритмы помехоустойчивого кодирования алгеброгеометрическими кодами, заданными на пространственных кривых.
2.1. Исследование методов алгебраической геометрии и кодов, возникающих на проективных кривых
Конструкция кодов на алгебраических кривых впервые предложена в работе [19]. Для ее изложения воспользуемся основными определениями и понятиями алгебраической геометрии [14, 20, 35, 75, 83, 104, 113 -115, 120].
Зафиксируем конечное поле GF(q). Рассмотрим множество всех упорядоченных наборов
,
где все принадлежат GF(q). В алгебраической геометрии это множество принято называть - мерным аффинным пространством (над полем GF(q)) и обозначать .
Обозначим через
кольцо многочленов с коэффициентами из GF(q) от переменных .
Точка
называется нулем многочлена
если
Подмножество называется замкнутым, если - множество нулей семейства многочленов
с коэффициентами из GF(q).
Каждому многочлену
можно сопоставить функцию
рассматривая f как функцию на множестве точек V. Таким образом, имеем гомоморфизм кольца
на кольцо . Ядро гомоморфизма состоит из всех многочленов
обращающихся в нуль во всех точках
Это множество многочленов является идеалом кольца
и называется идеалом замкнутого множества V.
Замкнутое множество V называется приводимым, если существуют такие замкнутые подмножества
, , , , что .
В противном случае V называется неприводимым множеством.
Аффинным алгебраическим многообразием Х называется неприводимое замкнутое подмножество аффинного пространства .
Рациональной функцией на называется выражение вида , где и - регулярные функции на и .
Пусть - рациональная функция на аффинном многообразии . Говорят, что определена в точке (регулярна в точке ), если можно представить в виде , .
Поле частных кольца называется полем рациональных функций на X и обозначается . Другими словами, поле состоит из таких рациональных функций , что , причем
если .
Рациональным отображением
называется такой набор функций
{},
что для любой точки , в которой все функции регулярны,
Отображение называется регулярным в такой точке , а точка
называется образом точки и обозначается .
Точка - мерного проективного пространства - это набор из элемента поля GF(q), для которого не все равны нулю, причем наборы и задают одну и ту же точку тогда и только тогда, когда для некоторого и для . - мерное проективное пространство обозначается . Любой из наборов , задающих точку , называется однородными координатами точки х.
Подмножество называется замкнутым, если - множество нулей семейства однородных многочленов
с коэффициентами из .
Проективным алгебраическим многообразием X называется неприводимое замкнутое подмножество проективного пространства .
Рациональной функцией на многообразии называется выражение вида , где и - однородные многочлены от одной степени и на X. Рациональная функция называется определенной, или регулярной в точке , если можно представить в виде , где не обращается в нуль в .
Зададим регулярное отображение неприводимого проективного многообразия в однородных координатах. По определению
,
где и - формы одинаковой степени от однородных координат точки и . Приведя эти дроби к общему знаменателю, получим, что
где - формы одинаковой степени и . Иначе говоря,
, (2.1)
как точка в .
Опишем взаимосвязь между проективными и аффинными многообразиями. Для каждого положим
. (2.2)
Поскольку у точек однородная координата , отображение
устанавливает взаимно-однозначное соответствие между и -мерным проективным пространством.
Гладкая проективная алгебраическая кривая Х в проективном пространстве над полем - это совокупность решений системы однородных неприводимых алгебраических уравнений от переменной с коэффициентами из [47, 49, 51, 52, 75].
Введем следующие обозначения:
* - род гладкой проективной алгебраической кривой,
* - множество точек кривой над конечным полем,
* - число точек кривой над конечным полем.
Рациональное отображение
задает код с